களஞ்சியம் 1: இயக்கச்சட்டகங்கள் / reference frames

இயல்பு வாழ்க்கையில் இயக்கவிதிகளைத் தெரியாமலேயே அவற்றைப் பயன்படுத்தக்கூடிய பட்டறிவைப் பெற்றிருக்கிறோம். காட்டாக, வேகமாக வண்டிகள் ஓடும் சாலையைக் கடக்கநேரிடும்போதோ, அல்லது அதேசாலையில் ஒரு வண்டியை முந்தும்போதோத் தேவையான இடத்தில் முடுக்கி, வேகத்தைக்கூட்டிக்குறைத்து என நம்மையறியாது இயக்கவிதிகளை உள்வாங்கியே, ஒரு நிதானத்தில் இயங்குகிறோம். வண்டியின் வேகத்தை கண்களால் கண்டே உணர்ந்து, இச்சாலையை இவ்வளவு வேகத்தில் கடந்தால், விபத்தைத் தவிர்க்கலாம் என்பதை உளத்தில் கணக்கிட்டு செயல்படுவோம்.

இயக்கச்சட்டகங்கள்

இயக்கவிதிகளைப் பற்றிப் புரிந்துகொள்வதற்கு முன்னர், இவ்விதிகள் எதற்காக என்று அறிந்துகொள்ள, முதலில் பொருட்களின் இயக்கங்களை நாம் எவ்வாறு எல்லாம் உணர்கிறோம் என்பதைக் காண்போம். சார்புக்கொள்கைகளினைப் புரிந்து கொள்வதற்கு, வெவ்வேறு இயக்கச்சட்டகங்களில் (reference frames) பொருட்களின் இயக்கம் எப்படியிருக்கும் என்பதைப் புரிந்துகொள்ளவும் இவ்விதிகள் உதவும்.

ஒரு எடுத்துக்காட்டுக்கு அன்பு, இசை, உமா என்ற மூன்று நண்பர்கள் இருக்கிறார்கள் எனக்கொள்வோம். ஒரு ஓடும் வண்டியில் அன்பும் இசையும் அருகருகே அமர்ந்திருப்பதாகக் கொள்வோம். இப்பொழுது வண்டி மதுரையிலிருந்து திருச்சிக்குச் செல்வதாகக் கொள்வோம், வண்டி ஒரு இடத்திலிருந்து இன்னொரு இடத்திற்கு நகர்ந்தாலும், அவ்விருவரும் வண்டியில் இருக்கும்பொருட்டு, அன்புக்கும் இசைக்கும் இடையேயான இடைவெளி அல்லது தூரம் மாறாது இருக்கும். (அப்படியானால், இருவருக்கும் இடையேயான இடைவெளி சுழியம்.)

இன்னொரு எடுத்துக்காட்டு அன்பும் இசையும் வண்டியில் இருக்கும் போது, உமா வண்டிக்குவெளியேத் தரையில் நின்றிருக்கிறார் என்றுக்கொள்வோம். தரையில் இருக்கும் உமாவுக்கும் ஓடும்வண்டியில் செல்லும் நண்பர்களுக்கும் இடையேயானதூரம் அதிகரித்துக்கொண்டேயிருக்கும். உமா நிற்குந்தரை ஒரு இயக்கச் சட்டகம் என்றால், மற்ற நண்பர்கள் அன்பும் இசையும் இருக்கும் வண்டி மற்றொரு இயக்கச் சட்டகம்.

ஒரு வேளை, உமாவும் இன்னொரு வண்டியில் எதிர்த்திசையில் பயணிக்கிறார் என்றால், அதாவது அன்புக்கும் இசைக்கும் எதிர்த்திசையில், உமா செல்கிறார் என்றால், இருவண்டிகளுக்கும் இடையேயான தூரம் வேகமாக அதிகரிக்கும்.

ஒருவேளை, உமா பின்னாடியே அவர்வண்டியில் பிந்தொடர்ந்து வந்து அன்பு,இசையின் வண்டியைப் பிடித்துவிட்டார் எனக்கொள்வோம். இப்பொழுது இருவரும் சாலையில் இருவேறு வண்டியில் இருந்தாலும் பேசிக்கொண்டேச் செல்கிறார்கள் என்போம், இப்பொழுது உமாவுக்கும் அன்புக்கும் இடையேயான தூரம் மாறாதே இருக்கும்.

இதுவரையிலான இவ்வெடுத்துக்காட்டுகளை நம்முடைய உளத்தில் ஓட்டிப்பார்க்க இயலும் அல்லவா?

Advertisements

நிரந்தர அண்டக் கோட்பாடு- இறைவன் – விவாதம்

இராய் சௌதுரி சமன்பாடு (Raychaudhuri equation) என்பது ஆரம்பமும் முடிவும் இலாத அண்டத்தைப் பற்றியது.  அதனடிப்படையில் இராய் சௌதுரியின் மாணாக்கரான சூர்ய தாஸ் அவர்களின் ஆய்வைப் பற்றி வந்த செய்தியை [1]மொழியியல் பேராசிரியர். தெய்வசுந்தரம் அவர்கள் பகிர்ந்ததனால் விளைந்த விவாதம் இது.

அண்டத்தின் அடிப்படையை, ஈர்ப்பியல் மற்றும் இழைக் கோட்பாடுகள் வழியாக பார்க்கலாம் என நினைக்கிறார்கள். குவாண்டம் ஈர்ப்பியல், இழைக் கோட்பாடுகள் சார்ந்த அளவீடுகளைக் காண சரியானக் கருவிகள் நம்மிடம் இல்லை. அதாவது, அப்படிக் கருவிகள் இருக்கும் பட்சத்தில், அக்கருவிகளே, இயற்கையின் மீச்சிறு அல்லது மீப்பெரு அளவுகளைக் கண்டறியக்கூடியனவாக (எ.கா. மீச்சிறு நேரம் 10^{-50} நொடிகள், பேரண்ட மாறிலி 10^{-123}, கருந்துளை அடர்த்தி 10^{+100}\, kg/m^3— எல்லாம் தோராய அளவுகள்!) இருக்கும். இதற்கு மறைமுக அர்த்தம், நம்மால் அம்மாதிரியானக் கருவிகளை உருவாக்க முடியாது!

மேலும், தற்பொழுதுள்ள இயற்பியற் கோட்பாடுகளின் அடிப்படையில், இம்மாதிரியான அடிப்படைக் கேள்விகளைக் கேட்கும் போது, அடிமனதில் ஒருவித விழிப்புணர்வுடனேயே அணுகும், ஏனெனில் எந்நேரமும் கட்டமைக்கப்பட்ட இயற்பியல் உடைபடலாம் என்பதே ஆகும்! நண்பர் ஒருவர் சொன்னது போல், ஊகங்கள் என்பது வெற்று யோசனைகள் அளவிலானவை கிடையாது, சில ஆய்வுகளில் வெற்றிகளைக் காணும் ஒரு கோட்பாட்டை, அவ்வெற்றிகளைத்தாண்டி/புரிதலைத் தாண்டி அங்கிட்டும் இங்கிட்டும் நீட்டியமைத்தால், பல விதங்களில் புதிய விடைகள் கிடைக்கும். அதனடிப்படையில் ஆனது தான் இது. ஸ்டெடி ஸ்டேட் அல்லது நிரந்தர அண்டக் கோட்பாடு ஒரு பக்கம், பெருவெடிப்பு, பெருங்குறுக்கக் கொள்கையைத் தாண்டி ஓடிக் கொண்டிருக்கிறது!

பேரா. தெய்வசுந்தரம்: ” அனைத்துமே பல பருண்மையான தரவுகள் ( material basis) அடிப்படையில்தான் முன்வைக்கப்படுகின்றன. அத்தரவுகள் , கணிதத்தையும் பிற அறிவியல்துறைகளின் அடிப்படைகளையும் கொண்டு அறிவியல் அறிஞர்களால் விளக்கப்படுகின்றன. அந்த விளக்கங்களில் சில ஊகங்கள் ( hypotheses) முன்வைக்கப்படுகின்றன. இந்த ஊகங்கள் எல்லாம் வெறுமையிலிருந்து (from “nothing”) உருவாக்கப்படவில்லை. இந்த ஊகங்களுக்கு இடையே வேறுபாடுகள் இருக்கலாம். அண்டத்தின் பண்புகள் பற்றி … இன்றுவரை வைக்கப்பட்டிருகிற ஊகங்கள் அனைத்தும் …. (எனக்குப் புரிந்தவரையில்) அண்டத்திற்கு ”படைப்பாளி” … ”இயக்குநர்” இல்லை என்பதைத் தெளிவுபடுத்துகிறது.”

Material basis என்பது சற்று இடறக் கூடியது, உதாரணத்திற்கு குவாண்ட புலக் கோட்பாட்டின் அடிப்படையே, வெற்றிடத்தில் ஏற்படும் அதிர்வுகளின் விளைவுகள் தாம். மேலும், இழைக் கோட்பாட்டிலும், அடிப்படைப் பருப்பொருளாக இழையைக் கொண்டாலும். அதுவும் ஒரு குறியீடு தான், மற்றபடி அதன் பரிமாணம் ஆற்றலாலானது. பெருவெடிப்புக் கொள்கை எனக் கொண்டாலும், ஆதிப்புள்ளியில் அனைத்தும் சக்தி வடிவமாகத் தான் இருந்தது. திரும்பவும் ஆதிப்புள்ளியில் உள்ளப் பிரச்சினை–singularity எனப்படும் முடிவிலி. நமக்கு வெடிப்புக்கு அப்புறம் ஒவ்வொரு நொடியிலும் என்னென்ன உருவாகியிருக்கும் என ஓரளவுக்கு ஊகிக்க முடிவதற்கு காரணம், தற்பொழுதுள்ள அண்டத்தில், நம்மால் உணரப்பட்ட விதிகள். இது ஒருப் பக்கம்.

நாகார்ச்சுனர் (மூலமத்தியம காரிகை) போன்ற தத்துவவியலாளர்கள், வெறுமையின் நீள அகலங்களைக் காணச் செய்த முயற்சிகளையும் நம்மால் காண முடிகிறது. குவாண்டவியலின் கட்டமைப்பும், அதன் முடிவுகளில்-அறுதியற்றத் தன்மையும் வெவ்வேறு விளக்கங்களைத் தேடுவதற்கான வாய்ப்புகளை இன்னும் திறந்தே வைத்திருக்கிறது. உடலில் புரதச்சேர்க்கை நிகழும் அளவில் கூட, ஐசன்பர்க்கின் அறுதியற்ற முடிவுகளைத் தற்பொழுது காண முடிகிறது, என கடந்த வார ஆய்வுக்கட்டுரை ஒன்று விளக்குகிறது. இதன் பொருள், நாம் ஏற்கனவே குவாண்டவியலின் கரைகளில்/எல்லைகளில் நடக்க ஆரம்பித்துவிட்டோம் எனினும் அதன் எல்லைகளை உடைக்கவியலுமா எனத் தெரியவில்லை. இது இன்னொருப் பக்கம்.

இறைவனின் இருப்பை இவற்றை வைத்து சொல்ல இயலுமா என்பது மிகவும் கடினமானக் கேள்வி. இப்படி அண்டசராசரத்தை பெரிய அளவில் நாம் பேசினாலும், பெரும்பொருள் இயற்பியலிலேயே (classical physics) பல புரிந்து கொள்ள முடியாதத் தன்மையுடன் உள்ளன. வெறும் தனி ஊசலின் அலைவைப் புரிந்து கொள்வதற்கு கடுமையானக் கணக்கீடுகளும் ஆற்றல் கொண்டக் கணினிகளின் தேவைகளும் உள்ளன. இறையின் அம்சத்தை மிகப் பெரிதாகக் கொண்டால், நாம் உணர்ந்த விதிகள் அனைத்தும் சிலப் பண்புகளை அளந்து அதனால் விளைந்த அறிவில் இருந்து பெறப்பட்டனவே. அதாவது, முழுமையானப் புரிதல் என்பது நிறையநேரங்களில் தேவைப்படாது. முகநூலைப் பயன்படுத்துவதற்கு, உலாவி, அது இயங்கும் செயலி, அதன் பின் செயல்படும் எலெக்ரானிக்ஸ் என அதையும் அறியத் தேவையில்லை. ஆனால், உயர்நிலையில் அண்டம் பற்றி ஆய்வுசெய்வோர்கள் கூட இப்படி மீச்சிறு அளவில், மிக சிலப் பண்புகளை மட்டுமே வைத்து இவ்வண்டத்தின் நிலைகளை ஆய்வு செய்கிறோம். இதன் அடிப்படையில் காண்கையில் இயக்குனர் பற்றியக் கேள்விக்கு நம்மால் பெரிய அளவில் பதிலளிக்க முடியுமா எனத் தெரியவில்லை. ஹாகிங் அவர்கள் அவ்வப்போது இது சார்ந்து சிலக் கருத்துகளைக் கூறுகிறார்கள், அதில் நான் புரிந்தவரையில், ஒரு பொருளின் தன்மையினை, ஒரு சிலப் பண்புகளை வைத்தே, அப்பொருளைப் பற்றி முழுவதுமாக ஊகிக்க முடிகின்ற பொழுது, நம் இயற்பியலும் கணிதமும் சரியானப் பாதையில் செல்கிறது எனப் பொருள், அப்படியிருக்கும் பட்சத்தில் இயக்குனரின் தேவை எவ்வகையானது என்பதாக இருக்கலாம். ஆயினும் அவருடைய சிலக் கருத்துகள், அவருடைய சொந்த வாழ்க்கையின் அடிப்படையிலும் உள்ளது, அதை அவ்வளவுக்கே எடுத்துக் கொள்ள முடியும் என நினைக்கிறேன்.

உதாரணத்திற்கு, ஏரியில் தவளைக் கல்லெறிதல் [2], செல்டிக் கல்லின் இயக்கம் [3], மிதிவண்டியின் இயக்கம் [4] இப்படி சிறுசிறு விசயங்களில் கூட பெரிய அளவில் இயற்பியல் உள்ளது, அவை அதிசயிக்கத்தக்க வகையில் நமக்குத் தெரிந்த இயற்பியல் விதிகளுக்குட்பட்டே இயங்குகின்றன. அதாவது, இப்படி ஒவ்வொரு விசயத்திலும் அந்தந்த இயக்கத்தைப் புரிந்து கொள்ள முயற்சி செய்யும் பொழுது, ஏதாவதொன்றில், இயற்பியலின் விதிகள் திருத்தியமைக்கப்படலாம். எப்பொழுதும் பரிநிர்வாணநிலையில் இருப்பதே நமக்கு நல்லது எனத் தோன்றுகிறது! 😀

தெய்வ சுந்தரம் நயினார் // Material basis என்பது சற்று இடறக் கூடியது,……. ஆதிப்புள்ளியில் அனைத்தும் சக்தி வடிவமாகத் தான் இருந்தது. // என்று நண்பர் நாகேஸ்வரன் ஈஸ்வர் கூறியுள்ளார். நான் பருண்மை (material) என்று கூறுவது…. இயங்கியல் பொருள்முதல்வாதத் தத்துவத்தில் கூறக்கூடிய பருண்மை அல்லது பருப்பொருள்.. இதற்கு அவர்கள் அளிக்கும் விளக்கம்….. நமது மனதிற்கு … புலனறிவுக்கு வெளியே …. புறவயமாக. ( Objective reality) … நமது மனத்தைச் சாராமல்…. நாம் நினைப்பதால் அது இல்லாமல், மாறாக அது இருப்பதால் நாம் அதை நினைக்கிற ( reflected in our mind) .. ஒன்றே பருண்மைத் தன்மை என்பதாகும்… எனவே சக்தி (energy) என்பதும் பருண்மைத் தன்மை உடையதே. அந்த சக்தியானது இயற்பியலில் கூறக்கூடிய பொருள்திணிவு (mass), இடம் (space ), காலம் (time) ஆகியவை உள்ள பொருளாக ஒரு காலகட்டத்தில் மாறியுள்ளது. அந்த சக்தியில் ஏற்பட்ட மாற்றம்தான் இது. வெறுமையில் (nothing) இருந்து அது தோன்றவில்லை.

தாங்கள் கூறுவது விளங்குகிறது… நான் பேச விழைவது, ontological realism, அது பார்வையாளரின் மனது அல்லது இருப்பைத் தாண்டியது. வெறுமையில் ஏற்படும் மாற்றம் எனவொன்றைக் காண இயன்றால் மிகவும் நன்றாக இருக்கும், உதாரணத்திற்கு காஸிமிர்-போல்டர் விளைவு போல். ஆயினும், இது பெருவெடிப்புக்கு அடுத்த நிலையே அதாவது, நம் இயற்பியல் விதியின் அடிப்படையில் இயங்கும் ஒன்று!

அதே போல் தாங்கள் சொல்லும் வெறுமையில் இருந்து வந்திருக்க இயலாது என்பதும் நாம் உணர்ந்த விதியின் அடிப்படையில் நாம் யோசிப்பதால் விளைவது. அதனால் தான் நான் விதிகளை உடைப்பதையோ விதிகளை மாற்றுவதையோப் பற்றிக் குறிப்பிடுகிறேன். இதில் இன்னொரு ஆர்வத்தைத் தூண்டக்கூடிய ஒன்று , எனக்குப் பிடித்த சீனோ (Zeno of Elea) தோற்றமுரண்கள்.. அதிலும் நேரம் சார்ந்த முரண். அதாவது, மாறக்கூடிய ஒன்றை, மாறாததாகவே/ மாறாதது போல் இருக்கச் செய்வது. இதுவும் தெரிந்த தத்துவ விதிகளுக்கு உட்பட்டது தான், இருந்தாலும், நினைப்பதற்கு மாறான (counter-intuitive) விசயங்களை உள்ளடக்கியது. இங்கு மாற்றத்தின் அளவானது மாறுகிறது. இதையும் Gödel incompleteness theorem தாங்கிக் கொள்வதும் ஆச்சரியமானது. (எனினும், இந்த வாக்கியத்தை, தத்துவ நோக்கில், தீவிர ஆய்வுக்குட்படுத்த வேண்டும்). தங்களுடைய வெறுமையின் வரையறை பெருவெடிப்புக்குப் பிந்தையது, முந்தைய சக்தி பின்னர் மாறிப் பருப்பொருள் ஆக மாறிவுள்ளது என்பதாக உள்ளது. முந்தைய ஆதிசக்தியின் வடிவம் பற்றிய இயற்பியல் நம்மால் உருவாக்க இயலவில்லை, ஆதலால் முற்றுமுழுதாக முன்னிருந்த அனைத்துக்கும், வெடிப்புக்குப் பிந்தைய நிகழ்வுகளின் வழியாக பதில் தெரியுமாவெனத் தெரியவில்லை.

மேலும் எதிர்மத்துகள்களின் அளவு வேறுபாடு ஒரு சின்ன குறை, இது ஒன்று மற்றொன்றாக மாறும் போது சீரில்லாமல் நடந்ததையும் குறிப்பிடுகிறது. எப்படியாயினும், நான் குறிப்பிடுவன குவாண்ட வெறுமை, இழையதிர்வுகள், மற்றொருவகையில் ஒன்றுமில்லாத வெறுமை, அதாவது, வெளிகூட இல்லாதநிலை எனக் கொள்ளலாம், ஆனால் இந்த இரண்டாவது வெறுமை பற்றிய வாதம் மிகவும் அர்த்தமற்றதாகக் காணலாம், தற்பொழுதுள்ள விதிகளின் பிரகாரம், இருப்பினும் சந்தேகத்தின் அடிப்படையில் அதை வைத்திருக்கிறேன்.

[1] http://phys.org/news/2015-02-big-quantum-equation-universe.html
http://arxiv.org/pdf/1404.3093v3.pdf    Cosmology from quantum potential
http://arxiv.org/pdf/1411.0753v3.pdf    Dark matter and dark energy from Bose-Einstein Condensate

[2] http://www.nature.com/news/1998/031229/full/news031229-8.html

[3] http://www.nature.com/news/the-bicycle-problem-that-nearly-broke-mathematics-1.20281?WT.mc_id=FBK_NA_1607_NEWSFBICYCLEPROBLEM_PORTFOLIO

[4] http://arxiv.org/abs/1202.6506

முடிவிலா மின் சுற்றும், கொஞ்சம் ஜனரஞ்சக திண்ம அறிவியலும்!

நண்பர் ஞானசம்பந்தன், இயற்பியல் ஆசிரியர்,  அனுப்பிய ஒருக் கேள்வியினாலும் கதிர் அண்ணாவின் தொடர் சம்பாசணைகளாலும் விளைந்தக் கட்டுரை இது!

இது மாதிரியான முடிவிலாச் சுற்றுக்களை, விளையாட்டாய் சிறுபிராயம் முதல் போட்டுத் திரிவேன், பேரா. ஶ்ரீனிவாசன் (காமராசர் பல்கலை) அவர்கள், ஒரு நாள் இதில் உள்ள விசயங்களைக் கோடிட்டுக் காண்பித்தார் [1].  அது தான் பிபனாக்சி விகிதத்தை இம்மாதிரியான சுற்றுகள் மூலம் காண்பது.

Fibonacci Ratio இயற்கையில் பூவிதழ், சில மரங்களில் இலையமைப்பு, கள்ளிச் செடியின் முள்ளமைவு என எல்லாவற்றிலும் அழகியலாக அமையும் ஒரு விகிதாச்சாரம், சில ஆய்வுகள் குழந்தைகள்/ பெரிய ஓவியர்கள் வரையும் படங்களில் எங்கு சூரியனை வரையவேண்டும் என்பதை அழகியல் நோக்கில் மனம் எடுத்து வரைவதைக் கூறுகிறார்கள். அதுப் பெரும்பாலும் பிபனாக்சி விகிதாச்சாரத்திற்கேற்ப இருப்பதை ஆச்சரியத்தோடு நோக்குகிறார்கள்.

இனி இயற்கையில் அமையும் பிபனாக்சி விகிதத்துக்கும் நாம் செய்யும் செயற்கையான முடிவிலாச்சுற்றுக்கும்,  எப்படித் தொடர்பு ஏற்படுகிறது எனக் காணலாம்.

InfyCkt-Rஇணைச்சுற்றின் மின் தடையளவு எப்பொழுதும்  பின்னவடிவில் இருப்பதால், இம்மாதிரியானத் தொடர் சுற்றின் மின் தடையளவும் பின்ன வடிவாக அமையும் தானே?!  இது பார்ப்பதற்கு சுவாரசியமான இராமானுஜனின் தொடர்பின்னம் போலவும் இருக்கும்!!

படத்திலுள்ளது போல் ஒரு அமைவுக்கு, AB தொடர்பில் உணரப்படும் மின் தடை, இவ்வாறுக் கணக்கிடப்படலாம்,

R_{AB}=R1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+R_2}}}}

இதுவே ஒரு முடிவிலாச் சுற்றில், அந்த மின் தடையின் அளவு

R_{AB}^{\,(\infty)}=R1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+\cfrac{1}{\ddots}}}}}

என மாறும்.   ஆக மின் தடை அமைவும் தொடர் பின்னமும் வந்துவிட்டது!!

இப்பொழுது,  R_1 மற்றும் R_2 ஆகியனவற்றைக் கொண்டு, R_1 R_2 =1 என அமைவது போல் எழுதும் பொழுது, R_1=1/R_2 என ஆகும்.  ஒரு எளிமையானக் கணக்கீட்டுக்காக, R_1 =1  எனக் கொண்டோமானால், மின் தடையின் அளவு

R_{AB} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}

இவ்வாறாக அமையும்.

ஒவ்வொரு பின்னமாக சுருக்கினால், பின்னங்கள் ஒரு எண்ணை நோக்கிக் குவிவதைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, முதல் ஒரு இணைப்புக்கு, R_{AB}^{\,(1)}=\frac{1}{1} எனவும் இரண்டாவதுச் சுற்றுக்கு  R_{AB}^{\,(2)}=\frac{2}{1}, எனவும், அப்படியே அடுத்தடுத்த சுற்றுக்களைச் சேர்க்கும் பொழுது  R_{AB}^{\,(3)}=\frac{3}{2}, R_{AB}^{\,(4)}=\frac{5}{3},  என்பவையும் ஏனையவையும் வரும்.  (n+1)-வது சுற்றை இணைக்கும் பொழுது, R_{AB}^{\,(n+1)}=\frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} என அமையும்.

இது n \rightarrow \infty என முடிவிலாச் சுற்றாக அமையும் பொழுது, மின் தடையானது, தெய்வீக விகிதமான பிபனாக்சி விகிதத்தை R_{AB}^{(\infty)}=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\approx 1.618 அடைவதைக் கணக்கிடலாம்!!

வெவ்வேறு நிலைகளில் இது பற்றிய ஆய்வினை, திண்மவியலின் முக்கியமான விளைவான, ஆண்டர்சன் குறுக்கத்தையும் (Anderson Localization) தனியாகக் கணக்கிட்டு வருகிறேன். பனுவல்களில் பகிரும் அளவுக்கு இன்னும் வளரவில்லை. கூடிய சீக்கிரம் வெளிவரும்! பேரா. ந. குமாரின் (இராமன் ஆய்வுக்கழகம்)கட்டுரையில் இதே போன்ற சுற்றை, மின் தூண்டல் நிலைமம் கொண்டும் மின் தேக்கிக் கொண்டும் கணக்கிட்டுள்ளதைக் காணலாம் [2].  இக்கட்டுரை, அடிப்படை இயற்பியலின் கேள்விகளில் ஒன்றான, ஒருங்கமைவு குலைதலையும்  (Broken Symmetry உராய்வு, தேய்மானம், இழுப்புவிசையின் அடிப்படையையும்  சார்ந்தது.   நேர ஒருங்கில் பின்னோக்கி செல்லவியலாத் (Broken time-reversal symmetry) தன்மையினை முடிவிலா மின்சுற்றுகள் கொண்டு விளக்கிக் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.   நாம் போன வகையில் எப்படிச் செய்தோமோ அதே போல், இதற்கும் மின் ஏற்பு/முறிக்கும் திறனைக் கணக்கிடலாம்.

InfyCkt-LCR

Z_{AB}^{\,(\infty)}=Z_L+\cfrac{1}{\cfrac{1}{Z_C}+\cfrac{1}{Z_L+\cfrac{1}{\cfrac{1}{Z_C}+\cfrac{1}{Z_L+\cfrac{1}{\ddots}}}}}

இதேச் சுற்றை இவ்வாறு, பூவிதழ் அமைவு போல் மாற்றி அமைக்கும் பொழுது,

InfyCkt-LCR-3தொடர் சுற்றில் ஒரே விதமானவை மாறி மாறி வருவதால் சுருக்கமாக, (n+1)-ஆவது சுற்றில் ஏற்படும் மாற்றத்தை, n-ஆவதுச் சுற்றில் உள்ள மின்னோட்ட ஏற்பில் ஏற்படும் மாறுபாட்டை வைத்தேக் கணக்கிடலாம்.

Z_{n+1}\equiv f(Z_n)=\dfrac{Z_n}{1+i \omega C Z_n}+i\dfrac{ \omega L Z_n}{i \omega L +Z_n}

இதில் \omega அதிர்வெண் ஆகிறது, L, C, ஆகியன முறையே தந்தூண்டல் திறன், மின் தேக்கத்திறனைக் குறிப்பது.  மேலுள்ள சமன்பாட்டில் இருந்து, அதிர்வெண் சுழியம் ஆகும் பொழுது, Z_{n+1} = Z_n என்ற மிகச் சாதாரணப் பண்பு வெளிப்படும், அதே நேரம்,  n\rightarrow \infty என்பது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த விளைவினைத் தரும், அதாவது, அலைவுப்பண்புகளினால் வேலை செய்யும் நிலைம, தேக்கப் பண்புகள் ஒடுங்கி, அலைவுறா மின்னோட்ட மின் தடையளவில் குவியும், இது நமது மின்னழுத்த மூலத்தில் அலைவுப்பண்பு இருந்தாலும் வரக்கூடியது!

ஆக, இருப்பது போல் இல்லாதிருப்பதும், இல்லாதிருப்பது போல் இருப்பதுமாய் அமைவது, இத்தொடர்களின் சிறப்பு! அதனால், தத்துவார்த்த கணிதம் மற்றும் இயற்பியலின் முக்கியமானதாகிறது!

அது சரி, வேண்டிய மின் தடையை வேண்டிய அளவு செய்து கொள்ள குறைக்கடத்திகளும் இது போன்ற சுற்றுக்களும் ஏற்கனவே உள்ளன,  அப்புறம் எதற்கு இந்த ஆய்வும் தத்துவமும்?  இது மின் தடையை மாற்றுவதும் பெறுவதையும் பற்றியதல்ல, எங்களுடையக் கேள்வி ஏன் தடுப்பான் வேலை செய்கிறது என்பது. ஒரு எலக்றான் ஓடும் பொழுது எத்திசையில் பயணிக்க வேண்டும் என்பதை எது தீர்மானிக்கிறது.

அது ஒரு ஒழுங்கற்றப் போக்கா (Random walk) எனக் கண்டதன் விளைவு தான் ஆண்டர்சன் குறுக்கம் [3]. அது ஒரு, இரு பரிமாணத்திலிருந்து அதிகமான பரிமாணத்திற்குப்  போகும் பொழுது, பருப்பொருளின் மின் தடையானதுப்  பரிமாணத்திற்கேற்ப விசேச வடிவில் மாறுகிறது, அதாவது ஒரே வேதிமூலக்கூறுகளைக் கொண்டத் திண்மத்தில்,   மெல்லியத் தகடு போன்றத் தடுப்பானிற்கும் பருமனானத் தடுப்பானிற்கும் (Bulk resistance) வேறுபாடு உள்ளது என்பதானது. அதன் வடிவியல் குவாண்ட பண்புகள் பொறுத்து மாறுபடுவதையும் கண்டறிந்து வருகின்றனர்.

ஆக, இந்த அமைவில், தடுப்பானின் அளவு எப்படி மாறுகிறது எனக் காணும் பொழுது, வியப்பாக இருந்தது, அதற்காக, ஆண்டர்சன் அவர்கட்கு நோபல் பரிசு வழங்கப்பட்டது. (ஆண்டர்சன் அவர்களின் மாணவர், பேரா. பாஸ்கரன் (கணித அறிவியற்கழகம்) அவ்ர்களின் சீடன், இந்த அடிப்பொடி..)  தற்பொழுது, பற்பல திண்மவியல் கண்டுபிடிப்புகள் தினந்தோறும் நடைபெறுகிறது, அவற்றில் எப்படி எலக்றானின் ஓட்டம் ஓரிடத்தில் குறுக்கப்படுகிறதா, அல்லது தடையில்லா ஓட்டமாக இருக்கிறதா (localization and delocalization) எனக் காண்பதும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஆய்வாக உள்ளது,  அதே மாதிரி தற்பொழுது ஹால் விளைவுகளை (Classical Hall effect), பருமன் அதிகமான மற்றும் மெல்லியப் புதிய திண்மப் பொருட்களில் காணும் பொழுது, கொத்தாக எலக்றான்கள் (macrocopic/ensemble current) பாயும் எலக்றானியலின் (classical electronics) விதிகளுட்படாத விசயங்களை, இயற்கையாகப் பண்பாகக் காண முடிகிறது. இவை பற்றிப் பிறிதொரு சமயம் காண்போம்!

பேரா. பாஸ்கரன், எலக்றானின் சுழற்சியை (spin) வைத்து சில spinonics ஆய்வுகளைச் செய்து வருகிறார், spinonics-ல் இன்னும் வியக்கத்தக்க வகையில் பல விசயங்களைக் காண முடிகிறது, அவை தற்பொழுதுள்ள் எலக்றானியலின் அடிப்படைத் தடுமாற்றங்களான, வேகம், அதிக அதிர்வெண்ணில் உள்ள பிரச்சினைகள்  கடந்து அமைவது மிகச்சிறப்பான விசயம்.  இத்துறையிலும் நவீன திண்மவியலிலும், அதன் உட்துறையான அதி வெப்ப மீக்கடத்திகளிலும் (High Temperature Superconductors) பாஸ்கரன் அவர்களின் ஆய்வுகள் மிக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தனவாகக் காணப்படுகிறது.

இதே மாதிரி,  DNA-வில் அடிப்படைக் கூறுகள் (A, T, G, C) அமைவிலும் இந்த பிபனாக்சி விகிதாச்சாரம் உள்ளது வியப்பானது, அதுவே, பயன்பாட்டு அளவிலான முடிவிலாத் தொடர் சுற்றிலும் அமைவது, வியப்பாக அமைகிறது.   இதன் மூலம் தொடர் சுற்றுகள் இயற்கையினை எவ்வளவு பிரதிபலிக்க முடியும் என்பதைக் காண விழைகிறோம்! இயற்கையின் அடிநாதத்தை அறிந்து கொள்ள இவை போன்றவை உதவும்.

உசாவித் துணைகள்:

  1. T. P. Srinivasan,  Fibonacci sequence, golden ratio, and a network of resistors, Am. J. Phys. 60, 461 (1992).
  2. N. Kumar,  Resistance without resistors: An anomaly, arXiv:0706.4384 (2007).
  3. P W Anderson, Absence of diffusion in certain random lattices, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).