முடிவிலா மின் சுற்றும், கொஞ்சம் ஜனரஞ்சக திண்ம அறிவியலும்!

நண்பர் ஞானசம்பந்தன், இயற்பியல் ஆசிரியர்,  அனுப்பிய ஒருக் கேள்வியினாலும் கதிர் அண்ணாவின் தொடர் சம்பாசணைகளாலும் விளைந்தக் கட்டுரை இது!

இது மாதிரியான முடிவிலாச் சுற்றுக்களை, விளையாட்டாய் சிறுபிராயம் முதல் போட்டுத் திரிவேன், பேரா. ஶ்ரீனிவாசன் (காமராசர் பல்கலை) அவர்கள், ஒரு நாள் இதில் உள்ள விசயங்களைக் கோடிட்டுக் காண்பித்தார் [1].  அது தான் பிபனாக்சி விகிதத்தை இம்மாதிரியான சுற்றுகள் மூலம் காண்பது.

Fibonacci Ratio இயற்கையில் பூவிதழ், சில மரங்களில் இலையமைப்பு, கள்ளிச் செடியின் முள்ளமைவு என எல்லாவற்றிலும் அழகியலாக அமையும் ஒரு விகிதாச்சாரம், சில ஆய்வுகள் குழந்தைகள்/ பெரிய ஓவியர்கள் வரையும் படங்களில் எங்கு சூரியனை வரையவேண்டும் என்பதை அழகியல் நோக்கில் மனம் எடுத்து வரைவதைக் கூறுகிறார்கள். அதுப் பெரும்பாலும் பிபனாக்சி விகிதாச்சாரத்திற்கேற்ப இருப்பதை ஆச்சரியத்தோடு நோக்குகிறார்கள்.

இனி இயற்கையில் அமையும் பிபனாக்சி விகிதத்துக்கும் நாம் செய்யும் செயற்கையான முடிவிலாச்சுற்றுக்கும்,  எப்படித் தொடர்பு ஏற்படுகிறது எனக் காணலாம்.

InfyCkt-Rஇணைச்சுற்றின் மின் தடையளவு எப்பொழுதும்  பின்னவடிவில் இருப்பதால், இம்மாதிரியானத் தொடர் சுற்றின் மின் தடையளவும் பின்ன வடிவாக அமையும் தானே?!  இது பார்ப்பதற்கு சுவாரசியமான இராமானுஜனின் தொடர்பின்னம் போலவும் இருக்கும்!!

படத்திலுள்ளது போல் ஒரு அமைவுக்கு, AB தொடர்பில் உணரப்படும் மின் தடை, இவ்வாறுக் கணக்கிடப்படலாம்,

R_{AB}=R1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+R_2}}}}

இதுவே ஒரு முடிவிலாச் சுற்றில், அந்த மின் தடையின் அளவு

R_{AB}^{\,(\infty)}=R1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+\cfrac{1}{\ddots}}}}}

என மாறும்.   ஆக மின் தடை அமைவும் தொடர் பின்னமும் வந்துவிட்டது!!

இப்பொழுது,  R_1 மற்றும் R_2 ஆகியனவற்றைக் கொண்டு, R_1 R_2 =1 என அமைவது போல் எழுதும் பொழுது, R_1=1/R_2 என ஆகும்.  ஒரு எளிமையானக் கணக்கீட்டுக்காக, R_1 =1  எனக் கொண்டோமானால், மின் தடையின் அளவு

R_{AB} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}

இவ்வாறாக அமையும்.

ஒவ்வொரு பின்னமாக சுருக்கினால், பின்னங்கள் ஒரு எண்ணை நோக்கிக் குவிவதைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, முதல் ஒரு இணைப்புக்கு, R_{AB}^{\,(1)}=\frac{1}{1} எனவும் இரண்டாவதுச் சுற்றுக்கு  R_{AB}^{\,(2)}=\frac{2}{1}, எனவும், அப்படியே அடுத்தடுத்த சுற்றுக்களைச் சேர்க்கும் பொழுது  R_{AB}^{\,(3)}=\frac{3}{2}, R_{AB}^{\,(4)}=\frac{5}{3},  என்பவையும் ஏனையவையும் வரும்.  (n+1)-வது சுற்றை இணைக்கும் பொழுது, R_{AB}^{\,(n+1)}=\frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} என அமையும்.

இது n \rightarrow \infty என முடிவிலாச் சுற்றாக அமையும் பொழுது, மின் தடையானது, தெய்வீக விகிதமான பிபனாக்சி விகிதத்தை R_{AB}^{(\infty)}=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\approx 1.618 அடைவதைக் கணக்கிடலாம்!!

வெவ்வேறு நிலைகளில் இது பற்றிய ஆய்வினை, திண்மவியலின் முக்கியமான விளைவான, ஆண்டர்சன் குறுக்கத்தையும் (Anderson Localization) தனியாகக் கணக்கிட்டு வருகிறேன். பனுவல்களில் பகிரும் அளவுக்கு இன்னும் வளரவில்லை. கூடிய சீக்கிரம் வெளிவரும்! பேரா. ந. குமாரின் (இராமன் ஆய்வுக்கழகம்)கட்டுரையில் இதே போன்ற சுற்றை, மின் தூண்டல் நிலைமம் கொண்டும் மின் தேக்கிக் கொண்டும் கணக்கிட்டுள்ளதைக் காணலாம் [2].  இக்கட்டுரை, அடிப்படை இயற்பியலின் கேள்விகளில் ஒன்றான, ஒருங்கமைவு குலைதலையும்  (Broken Symmetry உராய்வு, தேய்மானம், இழுப்புவிசையின் அடிப்படையையும்  சார்ந்தது.   நேர ஒருங்கில் பின்னோக்கி செல்லவியலாத் (Broken time-reversal symmetry) தன்மையினை முடிவிலா மின்சுற்றுகள் கொண்டு விளக்கிக் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.   நாம் போன வகையில் எப்படிச் செய்தோமோ அதே போல், இதற்கும் மின் ஏற்பு/முறிக்கும் திறனைக் கணக்கிடலாம்.

InfyCkt-LCR

Z_{AB}^{\,(\infty)}=Z_L+\cfrac{1}{\cfrac{1}{Z_C}+\cfrac{1}{Z_L+\cfrac{1}{\cfrac{1}{Z_C}+\cfrac{1}{Z_L+\cfrac{1}{\ddots}}}}}

இதேச் சுற்றை இவ்வாறு, பூவிதழ் அமைவு போல் மாற்றி அமைக்கும் பொழுது,

InfyCkt-LCR-3தொடர் சுற்றில் ஒரே விதமானவை மாறி மாறி வருவதால் சுருக்கமாக, (n+1)-ஆவது சுற்றில் ஏற்படும் மாற்றத்தை, n-ஆவதுச் சுற்றில் உள்ள மின்னோட்ட ஏற்பில் ஏற்படும் மாறுபாட்டை வைத்தேக் கணக்கிடலாம்.

Z_{n+1}\equiv f(Z_n)=\dfrac{Z_n}{1+i \omega C Z_n}+i\dfrac{ \omega L Z_n}{i \omega L +Z_n}

இதில் \omega அதிர்வெண் ஆகிறது, L, C, ஆகியன முறையே தந்தூண்டல் திறன், மின் தேக்கத்திறனைக் குறிப்பது.  மேலுள்ள சமன்பாட்டில் இருந்து, அதிர்வெண் சுழியம் ஆகும் பொழுது, Z_{n+1} = Z_n என்ற மிகச் சாதாரணப் பண்பு வெளிப்படும், அதே நேரம்,  n\rightarrow \infty என்பது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த விளைவினைத் தரும், அதாவது, அலைவுப்பண்புகளினால் வேலை செய்யும் நிலைம, தேக்கப் பண்புகள் ஒடுங்கி, அலைவுறா மின்னோட்ட மின் தடையளவில் குவியும், இது நமது மின்னழுத்த மூலத்தில் அலைவுப்பண்பு இருந்தாலும் வரக்கூடியது!

ஆக, இருப்பது போல் இல்லாதிருப்பதும், இல்லாதிருப்பது போல் இருப்பதுமாய் அமைவது, இத்தொடர்களின் சிறப்பு! அதனால், தத்துவார்த்த கணிதம் மற்றும் இயற்பியலின் முக்கியமானதாகிறது!

அது சரி, வேண்டிய மின் தடையை வேண்டிய அளவு செய்து கொள்ள குறைக்கடத்திகளும் இது போன்ற சுற்றுக்களும் ஏற்கனவே உள்ளன,  அப்புறம் எதற்கு இந்த ஆய்வும் தத்துவமும்?  இது மின் தடையை மாற்றுவதும் பெறுவதையும் பற்றியதல்ல, எங்களுடையக் கேள்வி ஏன் தடுப்பான் வேலை செய்கிறது என்பது. ஒரு எலக்றான் ஓடும் பொழுது எத்திசையில் பயணிக்க வேண்டும் என்பதை எது தீர்மானிக்கிறது.

அது ஒரு ஒழுங்கற்றப் போக்கா (Random walk) எனக் கண்டதன் விளைவு தான் ஆண்டர்சன் குறுக்கம் [3]. அது ஒரு, இரு பரிமாணத்திலிருந்து அதிகமான பரிமாணத்திற்குப்  போகும் பொழுது, பருப்பொருளின் மின் தடையானதுப்  பரிமாணத்திற்கேற்ப விசேச வடிவில் மாறுகிறது, அதாவது ஒரே வேதிமூலக்கூறுகளைக் கொண்டத் திண்மத்தில்,   மெல்லியத் தகடு போன்றத் தடுப்பானிற்கும் பருமனானத் தடுப்பானிற்கும் (Bulk resistance) வேறுபாடு உள்ளது என்பதானது. அதன் வடிவியல் குவாண்ட பண்புகள் பொறுத்து மாறுபடுவதையும் கண்டறிந்து வருகின்றனர்.

ஆக, இந்த அமைவில், தடுப்பானின் அளவு எப்படி மாறுகிறது எனக் காணும் பொழுது, வியப்பாக இருந்தது, அதற்காக, ஆண்டர்சன் அவர்கட்கு நோபல் பரிசு வழங்கப்பட்டது. (ஆண்டர்சன் அவர்களின் மாணவர், பேரா. பாஸ்கரன் (கணித அறிவியற்கழகம்) அவ்ர்களின் சீடன், இந்த அடிப்பொடி..)  தற்பொழுது, பற்பல திண்மவியல் கண்டுபிடிப்புகள் தினந்தோறும் நடைபெறுகிறது, அவற்றில் எப்படி எலக்றானின் ஓட்டம் ஓரிடத்தில் குறுக்கப்படுகிறதா, அல்லது தடையில்லா ஓட்டமாக இருக்கிறதா (localization and delocalization) எனக் காண்பதும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஆய்வாக உள்ளது,  அதே மாதிரி தற்பொழுது ஹால் விளைவுகளை (Classical Hall effect), பருமன் அதிகமான மற்றும் மெல்லியப் புதிய திண்மப் பொருட்களில் காணும் பொழுது, கொத்தாக எலக்றான்கள் (macrocopic/ensemble current) பாயும் எலக்றானியலின் (classical electronics) விதிகளுட்படாத விசயங்களை, இயற்கையாகப் பண்பாகக் காண முடிகிறது. இவை பற்றிப் பிறிதொரு சமயம் காண்போம்!

பேரா. பாஸ்கரன், எலக்றானின் சுழற்சியை (spin) வைத்து சில spinonics ஆய்வுகளைச் செய்து வருகிறார், spinonics-ல் இன்னும் வியக்கத்தக்க வகையில் பல விசயங்களைக் காண முடிகிறது, அவை தற்பொழுதுள்ள் எலக்றானியலின் அடிப்படைத் தடுமாற்றங்களான, வேகம், அதிக அதிர்வெண்ணில் உள்ள பிரச்சினைகள்  கடந்து அமைவது மிகச்சிறப்பான விசயம்.  இத்துறையிலும் நவீன திண்மவியலிலும், அதன் உட்துறையான அதி வெப்ப மீக்கடத்திகளிலும் (High Temperature Superconductors) பாஸ்கரன் அவர்களின் ஆய்வுகள் மிக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தனவாகக் காணப்படுகிறது.

இதே மாதிரி,  DNA-வில் அடிப்படைக் கூறுகள் (A, T, G, C) அமைவிலும் இந்த பிபனாக்சி விகிதாச்சாரம் உள்ளது வியப்பானது, அதுவே, பயன்பாட்டு அளவிலான முடிவிலாத் தொடர் சுற்றிலும் அமைவது, வியப்பாக அமைகிறது.   இதன் மூலம் தொடர் சுற்றுகள் இயற்கையினை எவ்வளவு பிரதிபலிக்க முடியும் என்பதைக் காண விழைகிறோம்! இயற்கையின் அடிநாதத்தை அறிந்து கொள்ள இவை போன்றவை உதவும்.

உசாவித் துணைகள்:

  1. T. P. Srinivasan,  Fibonacci sequence, golden ratio, and a network of resistors, Am. J. Phys. 60, 461 (1992).
  2. N. Kumar,  Resistance without resistors: An anomaly, arXiv:0706.4384 (2007).
  3. P W Anderson, Absence of diffusion in certain random lattices, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).
Advertisements