கதிரியக்கத்தனிமத்தின் சிதைவுச்சமன்பாடு!

அறிவியலைப் பொறுத்தவரை, பார்ப்பவை, அளப்பவை அனைத்தையும் எண்களுக்குள் அடக்குவதற்கு முயல்கிறோம். எதையெல்லாம் பார்க்கிறோமோ, எவையெல்லாம் மாறுகிறதோ, அவையெல்லாம், பொதுவாகவே எல்லோர்மனதுக்கும் பிடித்தமாகிறது!!

வண்ணக்குழைவுடனிருக்கும் வானமாகட்டும், நம் கண்முன்னர் வளரும் குழந்தைகளின் வளர்ச்சியாகட்டும், இசையில் உண்டாகும் இனிமையாகட்டும் எல்லாமே மாற்றத்தின் விளைவால் நடப்பவை!
இசையில் 7 சுரங்களில் (~7 அதிர்வெண்) ஏற்படும் மாற்றமும் , சுரங்களுக்கிடையேயான மாற்றங்களுக்குக் காரணமான அமைதியான இடைவெளியுமே (தாளம்/ரிதம்)இனிமைக்குக் காரணமாகிறது.

மாற்றம் எல்லாம் சரி, அம்மாற்றங்கள் எவ்வளவு வேகமாக நடக்கிறதென்பதை அறிந்துகொள்ள விழைகிறோம். சராசரி மனிதனின் உடல் உயரவளர்ச்சியென்பது, பிறப்பிலிருந்து மனிதனின் சராசரிஉயரத்தையெட்டும்வரை, நேர்கோட்டுவளர்ச்சியாகக் கொள்ளலாம். அம்மனிதர் அவ்வுயரத்தையெட்டியபின் இறப்புவரை, அதே உயரத்தைக் கொண்டிப்பார் எனலாம். இதை சமன்பாடாக இவ்வாறு எழுதலாம்.

குழந்தையாக இருக்கும்போதுள்ள உயரத்தை “c” எனலாம்.

c-ல் இருந்து வளர்கிறார்.

1 வயதில் உயரம் = c + 1 வருடத்துக்கான வளர்ச்சி (h1)
2 வயதில் உயரம் = c + முதல்வருட வளர்ச்சி(h1) + இரண்டாம் வருடவளர்ச்சி
(h2)
3 வயதிலுயரம் = c + முதல்வருட வளர்ச்சி + இரண்டாம் வருடவளர்ச்சி+மூன்றாம் வருடவளர்ச்சி
.
.
.
20 வயதிலுயரம் = c + முதல்வருட வளர்ச்சி + இரண்டாம் வருடவளர்ச்சி+மூன்றாம் வருடவளர்ச்சி + ….+ 20வது வருடவளர்ச்சி

 

இதைக் குறியீட்டுவடிவத்தில் இப்படி எழுதிக்கொள்ளலாம்; எல்லாவருடமும் ஒரே அளவிலான வளர்ச்சியென்று வைத்துக்கொள்வோம். அதாவது h1=h2=h3=…=h25= h

1 வயது உயரம் H_1= c+ h
2 வயது யரம் H_2= c+ h+h = c+ 2 h
3 வயது யரம் H_3= c+ h+h+h = c+ 3 h
.
.
.
t வயதில் உயரம் H_t = c + t * h

H_t = c+ t * h

IMG_20171206_220317.jpg

H_t = c+h t

ஒருவேளை, எல்லாவருடமும் ஒரே அளவிலான வளர்ச்சியென்று வைத்துக்கொள்வோம், என்றச்சொற்றொடரை நுண்கணித மொழியில் எழுத! \frac{dH_t}{dt}=h;

\frac{d}{dx} புலி!:

இதில் \frac{d}{dx}-ஐ பசிகொண்டலையும் புலி போல் கொள்வோம்; அப்புலி மாறாத எண் தனித்து நின்றால் முட்டையாக்க்விடும். மாறும் மாறியென்றால் கடித்துக்குதறி அதன் தன்மையை மாற்றிவிடும்!

இதில் d() அல்லது \frac{d}{dx} – பசிகொண்டலையும் புலி போல் கொள்வோம்!
d/dx என்பதால் அதன் ஊன் x ஆகும்! தின்பதற்கொன்றும் கிடைக்காத போது புல் தின்னும் புலியிது! ஒரு எண் தனித்துநின்றால் ஒன்றும் அற்றதாகிவிடும் (d(constant) =0)! ஆயினும், மாறா எண்ணோடு ஒரு மாறும் மாறி(இங்கே x)நின்றால், கனியிருக்கக் காய்கவரலாகுமா?! ஆக மாறியை அப்படியேவிட்டுவிட்டு , மாறியானப் புலாலை உண்ணும்! \frac{d}{dx}[c. x^n] = c. n x^{(n-1)}$

எப்படி ?

\frac{d H_t}{dt} = \frac{d}{dt} (c+ t*h) = \frac{d}{dt} (c ) + \frac{d}{dt} (t*h)

c= பிறக்கும் போது உள்ள உயரம். அது வெறும் எண்

\frac{d H_t}{dt} = 0+ h. \frac{dt}{dt}= h.1 = h

“எல்லாவருடமும் ஒரே அளவிலான வளர்ச்சியென்று வைத்துக்கொள்வோம்” என்றச்சொற்றொடரை நுண்கணித மொழியில் எழுதிவிட்டோம்! \frac{d H_t}{dt} = h;

இது வளர்ச்சி சம்பந்தப்பட்டது! அதனால் \frac{d H_t}{dt} = + h

ஒரு வேளை வயதாக ஆக குள்ளமாவோம் என்று இருந்தால் , \frac{d H_t}{dt} = - h என்று சொல்லுவோம். இதெல்லாம் ஒரு வசதிக்கானது. மாறுகிறது, ஆனால் எப்படி மாறுகிறது என்று ஓரளவு இந்த சமன்பாடுகள் கூறுகிறது.

ஓரளவு உண்மையையொட்டி…

நாம் இதுவரை, ஒரு சராசரி மனிதரை எடுத்துக்கொண்டிருக்கிறோம்! ஆனால், ஒவ்வொரு மனிதரும் ஒவ்வொரு மாதிரி வளருகிறோம், அதற்கு பற்பலக் காரணிகள் இருந்தாலும், ஒரே ஒரு காரணியாக உணவின் அளவை மட்டும் எடுத்துக்கொள்வோம்!

எடுத்துக்காட்டுக்கு, ஒரு மனிதன் சாப்பிடும் அளவையும்(k என்க) கணக்கில் சேர்த்தால், வருடத்தைப் பொருத்த வளர்ச்சி மாறும் வீதத்தை

\frac{d \mathcal{H}(t)}{dt} = +k \mathcal{H}(t)

(\frac{d H_t}{dt} = +k h என்றெழுதியதை, என்னுடைய நண்பன் குமரன், நுண்கணிதந்தெரியாதவர்கள்தவறாகப் புரிந்துகொள்ள வாய்ப்புள்ளது என்றுக்கூறியிருந்ததைக் கருத்தில் கொண்டு \frac{d \mathcal{H}(t)}{dt} = +k \mathcal{H}(t) என மாற்றியிருக்கிறேன்.)

என மாறும்! k-க்குத் தக்கன, வளர்சிதைமாறும்வீதம் மாறும்.  \mathcal{H}(t) என்பது t எனும் நேரத்தில், நாம் எடுத்துக்கொண்ட மனிதரின் உயரமாகக்கொள்க.

இதே விசயத்தை,குவிந்துகிடக்கும் ஒருபொருளை, கொஞ்சங்கொஞ்சமாக அள்ளும் போது, எப்பொழுது குறையும் என்பதைக் கணக்கிட முடியும் , எப்படிக்குறையும் என்பதையும் ஊகிக்கமுடியும்!

இதையே, கதிரியக்கத்தனிமங்களின் தன்மை தொடர்ந்து கதிர்களை உமிழ்வதென்பது, கதிர்களின் வெளிப்பாடு எனில் சக்தியின் வெளிப்பாடு, சக்தியின் அளவும் ஒரு குறிப்பிட்ட நிறையில் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையைப் பொருத்தே இருக்கும். அதனுள் இருக்கும் துகள்கள் கதிர்களாக வெளியேறுவதால் வருவது. ஆரம்பத்தில் N அணுக்கள் இருந்திருந்தால், நேரம் ஆக ஆக எண்ணிக்கையில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் குறிக்க \frac{d N}{dt} எனலாம், இப்பொழுது எவ்வளவு இருக்கிறது என்பதை N-இன் மடங்கிலேயே கூறலாம் அல்லவா, அதாவது கால்வாசி (N/4) அரைவாசி (N/2) என்பதுபோல், எந்தவகையான தனிமம் என்பதைப் பொருத்து இம்மடங்கு மாறும் என்பதால், பொதுவாக \lambda என்றக் குறியீட்டால் குறிக்கலாம், அதே போல் இது தனிமமானது குறைந்துகொண்டேயிருக்கும், ஆக, அந்த மைனஸ்/ கழித்தல் குறியீடு. இதுவரை சொன்னதைச் சுருக்கி ஒரு சமன்பாட்டுமொழியில் எழுதிவிடலாம்.

\frac{d N}{dt} = - \lambda N

இது வகைக்கெழு சமன்பாட்டில் ஒரு வகை.

இவ்வகைக்கெழு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் வகையைப் பார்ப்போம்.

  1.  N வகையை எல்லாம் ஒருப்பக்கம் சேர்ப்போம், = குறியீட்டுக்கு அப்பக்கம் உள்ளதை, இப்பக்கம் கொண்டுவருவோம்.  \frac{d N}{N \, dt} = -\lambda
  2. dt ஐ =க்கு அப்பக்கம் கொண்டுசெல்ல \frac{d N}{Nt} = -\lambda \, dt
  3.  இருப்பக்கமும் தொகைப்படுத்த  \int dx எனும் இயக்கியைப் போடுக.

    \implies \frac{df(x)}{d x} என்பது f(x)-ஐப் பகுக்கும் புலி என்றால். \int f(x) dx என்பது தொகுத்துக்கொடுக்கும் வள்ளல்! (இவையெல்லாம் விளையாட்டுவிதிகள் போலத்தான்.)  

    \implies மாறிலிமுன் /எண்முன் \int dx வரின், அதுசார்ந்த மாறி(x+C)வந்து பல்கும்! பெருகும்!! (C என்பது ஒரு மாறிலி,  நாம் f(x) ல் எப்பகுதியைத்  தொகைப்படுத்துகிறோம் என்பதைப் பொருத்து இந்த C-இன் மதிப்பு வரும்)

    \implies அதுசார்ந்த மாறிவரின், உதாரணத்துக்கு x^n என்றால் x^{n+1} ஆக அதிகரித்துத்தரும் \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C    இதில் C- மாறிலி!

    \implies ஒரு வேளை x^nஎன்பதை, x_1 எனும் இடத்திலிருந்து  x_2 எனும் இடம் வரை தொகைப்படுத்தினால்.

    \int_{x_1}^{x_2} x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}\big|_{x_1}^{x_2} என வரும். 
    பின்னர் இதன் எல்லைகளை உள்ளீடு செய்ய,
    \int_{x_1}^{x_2} x^n dx = \frac{x_{2}^{n+1}}{n+1} - \frac{x_{1}^{n+1}}{n+1}  என ஆகும்

    f(x)=1/x என்பது சார்பு எனில், \int\frac{ dx}{x} = \log_e{(x)}+C

    இன்னும் சுருக்கமாக,
    \int x^n dx =\begin{cases} \frac{x^{n+1}}{n+1}+C  &\mbox{for  }n\neq -1 \\ \log_e{(x)}+C&\mbox{ for } n =-1 \end{cases}

    \int_{N_0}^N(t)  \frac{d N}{N} = -\lambda \int \, dt   இதில்  N_0 ஆரம்பநிலையில் நம்மிடம் இருந்த தனிமத்தின் அணுக்களின் எண்ணிக்கை என்றால், N(t) என்பது t எனும் நேரத்தில் அணுக்களின் எண்ணிக்கை.

  4. கடந்தக்குறிப்பில் கொடுக்கப்பட்ட தொகைநுண்கணிதத்தின் பண்புகளைக் கொண்டு.  கடைசி சமன்பாட்டைத் தொகுக்க,\log_e{N} \big|_{N_0}^{N(t)} = -\lambda t\big|_{t_0}^{t}\log_e{N(t)} - \log_e{N_0}  = -\lambda \times (t-t_0)

    \implies \log_e இன் பண்புகள்:  மடக்கையின் தன்மையே, பெரிய எண்களை பெருக்கவும் வகுக்கவும் ஆவதற்கான வேலைகளையும் நேரத்தையும் “மடக்கிச்சுருக்குதலேயாகும்”,

    \implies log_e-இன் அடிமானம் e-ஆகும், e என்பதை இயற்கை மாறிலி என்போம், அதுவொரு விகிதமுறா எண்!  

    \implies மடக்கிய வேலையை, தலைகீழாக்க, \log_e a = b என்பதை, log இல்லாமல், e^b=a   என எழுதலாம். log_e(e) = 1

    \implies அதாவது, இரு எண்களின் பெருக்கல், மடக்கையில் கூட்டலாகும்  \log_e(a) \log_e(b) = \log_e(a)+\log_e(b)

    \implies இரு எண்களின் வகுத்தல் மடக்கையில் கழித்தலாகும்!  \frac{\log_e(a)}{\log_e(b)} = \log_e(a)-\log_e(b)

    இப்பண்புகளை நம் சமன்பாட்டிலிட,
    \log_e(\frac{N(t)}{N_0}) = -\lambda \times (t-t_0)
    \implies \frac{N(t)}{N_0} = \exp( -\lambda \times (t-t_0))
    \implies N(t) = N_0 \exp( -\lambda \times (t-t_0)
    ஆக, நம்மிடம் இருக்கும் அணுக்களின் எண்ணிக்கையை,

    N(t) = N_0 \exp( -\lambda \times (t-t_0)

    என்ற சூத்திரத்தின் மூலம், எந்நேரத்திலும் கணக்கிட்டுக்கொள்ளலாம்!

Advertisements

2016 இயற்பியல் நோபல் பரிசும் திண்மவியலில் இடவியற்கோட்பாடும்

2016 ஆமாண்டிற்கான இயற்பியல் நோபல் பரிசு,  பொருண்மையீர்ப்பு அலைகளுக்கு (gravitational waves), கரும்பொருள் கோட்பாடு (dark matter) என பலவிதமான எதிர்பார்ப்பைக் கிளப்பி, திடீரென யாருமே எதிர்பாராதவகையில் இடவியற்கோட்பாட்டை(topological) பொருண்மவியலின் (condensed matter physics) நுட்பங்களின்பால் கண்ட இயற்பியலர்கள், பேராசிரியர்கள் தூல்ஸ் (Thouless), ஹால்டேன் (Haldane), கோசர்லிட்ச் (Kosterlitz) ஆகியோருக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது.

பொருண்மங்கள் பெரும்பாலும் திண்ம நீர்ம வளிம நிலைகளில் வகைப்படுத்தப்பட்டதோடும், அயனிக்குழம்பான பிளாஸ்மாகவும், போசு-ஐன்ஸ்டைன் செறிவுநிலைகளாகவும் (BEC), பொருண்மச்சுழற்கடத்தி நிலைகளாகவும் (Topological materials), புதிய பொருண்மநிலைகளாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன.

மரபியற்பியல் கோட்பாட்டின்படியும் குவாண்டக் கோட்பாட்டின்படியும் பொருட்களின் நிலைமாற்றங்கள், அந்தந்தப் பொருட்களைப் பொறுத்து வெப்ப,மின்,காந்தப்புலங்களுடன் ஊடாடுவதால் ஏற்படுவன.  அதை ஏன் நாம் இடவியல் வழியாகப் பார்க்கிறோம் என்பதையும் அதற்கும் சாதாரண நிலைமாற்றங்களுக்கும் உள்ள வேறுபாட்டையும் இயன்ற அளவு எளியமுறையில் விளக்குகிறேன்.  ஏற்கனவே இது சார்ந்த ஒரு பதிவை முடிவிலா மின் சுற்றும், கொஞ்சம் ஜனரஞ்சக திண்ம அறிவியலும்! எனும் தலைப்பில் முன்னமேயிட்டுள்ளேன், அதில் இடவியற்கோட்பாடு சார்ந்த விசயங்களைக் கோடிட்டுக்காண்பித்திருந்தேன்.   அதில் எலக்றானியல் சுற்றுகள், மரபணு உயிரியலிலும் (DNA அமைப்பு) திண்மவியலிலும் (ஒழுங்கிலாப் போக்கு -Random walk) எண்ணியலிலும் (Number theory)  இடம்பெறும் நிகழ்வுகளிலும் கணக்கீடுகளிலும் பிரதிபலிப்பதில் காணலாம்.

இடவியல் என்பது என்ன?!

நாம் பொதுவாக எந்தவொரு அளவீட்டையும் எண்களால் குறிப்பிடுவோம், சில நேரங்களில் அதனுடன் பிறப்பண்புகளையும் சேர்த்துக் குறிப்பிடவேண்டியிருக்கும்,  இருவர் நிலத்தைப் பற்றிப் பேசிக்கொள்கிறார்கள் எனக் கொள்வோம்.

உதாரணத்திற்கு எனக்கென்று சொந்த இடம் உள்ளது என ஒருவர் கூறினால், எவ்வளவு எனக் கேட்போம், 100 ஏக்கர் என்று அவர் கூறுவதாய் கொண்டால், உடனே மறுகேள்வி எங்கே எனவோ எந்தப்பக்கம் எனவோ திசை சார்ந்து இருக்கும், நமது கேள்வி.

இடத்தையும் குறிப்பிட்டவுடன், அது நஞ்சை புஞ்சையா என்ற அதனுள் உறையும் சேதி கூடத் தெரிந்துவிடலாம். அதாவது, அவர் ஆற்றங்கரையருகில் எனக் கூறுகிறார் என்று வைத்துக் கொள்வோம், தானாகவே, அது வளமான நஞ்சைப்பகுதி தான் எனக் கருத்தில் கொள்வோம்.

IMAG1569.jpg

மலைமுகடு, சி1 சி2 சி3 –முகட்டில் வெவ்வேறு உயரங்கள்; அதே சி1 சி2 சி3யின் வரைகோட்டுப்படம்

இப்படி ஒருபொருளை அல்லது ஒரு விசயத்தைக் குறிப்பிட, அதுபற்றியப் பண்புகளைக் குறிப்பிட்டுக்கொண்டே செல்லலாம், இவையனத்தையும் ஒருக் குறிப்பிட்ட வடிவம் மூலம் குறிக்க முடியும்.  உதாரணத்திற்கு ஒரு உலகவரைபடத்தில் இதே செய்திகளைக் குறிப்பிட, வண்ணங்கள் கொண்டும் அட்ச, தீர்க்ககோடுகளின்வழியாகவும் வரைகோட்டுகளின்வழியாகவும் மேலே சொன்ன உதாரணத்தில் உள்ள சேதிகளையும் பொதிக்கமுடியும்.  ஒரு பொருளின்பண்பைக் காட்ட வார்த்தைகளைக் கொண்டும், எண்களைக் கொண்டும் விசயத்தைப் பரிமாறிக்கொள்வது போல், ஒரு பொது மொழிவழியாகப் பரிமாறிக்கொள்ள இடவியல் பயன்படுகிறது.  முப்பரிமாண தரைபரப்பை/மலை முகட்டை, ஒரு இருபரிமாணத்தாளில் வரையும்போது, வரைகோடுகளைக் கொண்டு மலையின் உயரத்தைக் குறிப்பிட முடியும்.  உதாரணத்திற்கு, ஒரு மலையில், தரைபரப்பில் இருந்து 100 மீட்டர் உயரத்தில் தேநீர்க்கடையும் 200 மீட்டர் உயரத்தில், சுற்றுலாத்துறைஅலுவலகமும் அம்மலைமீதில் உள்ளதெனில், தாளில் குறிப்பிடும் போது 100 மீட்டர் அளவுக்கான வரைகோட்டினை வரைந்து தேநீர்க்கடையை அதனுள்ளும், 200 மீ அளவுக்கான வரைகோட்டினை வரைந்து அலுவலகத்தையும் குறிப்போம்.

PoincareSphere-Optics-TriangularPath.png

சுழல் அல்லது ஒளித்துகளின் சுழல் தன்மையை ப்ளாக் அல்லது போன்கரெ கோளத்தில் பொதியச் செய்து, அச்சுழலின் மாற்றங்களையும் காண்பிக்கும் படம்

இதைப் போல், ஒரு பண்பைக் குறிக்க இன்னொருப் பரிமாணத்தில் இன்னொருப் பண்பாகக் குறிப்பிடவியலக்கூடிய அமைப்பும் இடவியல் கோட்பாட்டிலுள்ள வசதி ஆகும்.  இடவியல் இடத்தை மட்டும் குறிப்பிடுவதற்கு பயன்படுத்தப்படுவதில்லை,  எந்தவொருப் பண்பையும் இதன் மூலம் குறிப்பிடப் பயன்படுத்தமுடியும். உதாரணத்திற்கு எலக்றானின் சுழற்பண்புகள் முப்பரிமாண உலகில் அளக்கப்படவேண்டியவை.  அவற்றை அளந்துக் குறிப்பிடும் பொழுது, எல்லையில்லா பரிமாணங்கொண்ட ஹில்பர்ட் வெளியில் குறிப்பிடமுடியும். அரை-சுழலெண் கொண்ட ஒரு எலக்றானின் பண்பை, இருபரிமாண ஹில்பர்ட்வெளியில் அவ்வெலக்றானின் பண்புநலன்கள் சிதையாமல் குறிப்பிடமுடியும்.  இவ்விருபரிமாண இல்பர்ட் வெளி, நாம் மனக்கண்ணால் காண்பதற்கு இன்னும் சிரமமாய் இருக்கலாம், அதனால், இப்பண்புகளை ஒரு முப்பரிமாணக் கோளத்தின் (2-Sphere S^2 or 3-Ball B^3) மேல் பொதித்து அதன் நடவடிக்கைகளைக் கண்காணிக்கவும் உய்த்துணரவும் வசதியாக இருக்கும்.

இம்மாதிரி இடவியல் கோட்பாடுகளைக் கொண்டு பலவகையான விசயங்களை அறியமுடியும். அதே போல, இடவியலைக் கொண்டுக் காணும் பொழுது, நாம் காபி அருந்தும் கோப்பையும், உளுந்துவடையும் ஒரே வடிவம் கொண்டவை ஆகிவிடும்.   நம்முடைய கால்சட்டையும், வடையைச்சுடும்போது ஒன்றையொன்று ஒட்டிக்கொண்ட இரு உளுந்துவடைகள் எப்படியிருக்குமோ அந்தவடையும் வடிவத்தில் ஒன்றாகிவிடும்! இதனால், ஒரு வசதி என்னவெனில், உளுந்துவடை (S^1 \times S^1) மாதிரியான அமைப்பைப் பற்றி நாம் நன்றாக அறிந்திருந்தால், கோப்பிக்கோப்பை போன்ற கடினமான அல்லது ஒழுங்கில்லா வடிவங்களின் தன்மையினை ஆராய்ந்து கொள்ளமுடியும்!

topology.png

இடவியற்தத்துவப்படி ஒரேவடிவங்கொண்டவை:                 1. கோப்பை (பிடியில்லாதது)யும் கோளமும் 2. பிடியுள்ளக் கோப்பையும் வடையும் 3. காற்சட்டையும் வடைகளும்

இடவியல் கோட்பாடு, கிராஃப் கொள்கை, முடிச்சுகளின் கோட்பாடு போன்றவையனைத்தும், இயற்பியலில் வெவ்வேறு கட்டமைப்பின் மூலமும் காணலாம்.

சீரான ஒழுங்குகள் (broken symmetry)  உடைபடும் புலங்களில் திண்பொருண்மப் புலமும் ஒன்று.  இயற்பியல் விளைவுகளைக் காணும்பொழுது வழமையானக் கணக்குமுறைகள் பயன்படாமல் போகவும் நிறைய வாய்ப்புகள் உள்ளன. அம்மாதிரித்தருணங்களில் விளங்கிக் கொள்ளவும் கணக்கிடவும் இம்மாதிரியான வழிமுறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. காலம்-வெளி, இழைக் கோட்பாடு, குவாண்டம் ஈர்ப்பியல், குவாண்ட பொருண்மவியல் — மீக்கடத்தியியல், மீப்பாய்மவியல், குவாண்டக் கணினியியல் போன்றத் துறைகளில் இடவியற்கோட்பாடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

மீப்பாய்மம் (Superfludity), மீக்கடத்துதிறன் (Superconductivity) உதாரணங்கள்

உதாரணத்துக்கு குவாண்ட திண்மவியலுக்குத் தொடர்புடைய, மீப்பாய்ம, மீக்கடத்தி விசயங்களைக் காணலாம்.  நீர்ம ஹீலியம் (^3He) என்பது, 4K (~ -270 டிகிரி செல்சியஸ்)அளவுக்கு குறைவான வெப்பநிலையைக் கொண்ட நீர்மம், நீர்மம் என்றாலேயே அதற்கு விழுவிழுப்புத் தன்மை என்ற ஒன்று உண்டு. ஒரு பாத்திரத்தில் நீரை ஊற்றினால், அது அப்பாத்திரத்திலேயே இருப்பதற்கும் விழுவிழுப்புத்தன்மை தான், ஒருவகையில் காரணம். ஆனால் நீர்மஹீலியத்தை ஒருப் பாத்திரத்தில் ஊற்றி வைக்கும்பொழுது, அது இருக்கும் பாத்திரத்தின் சுவர்களின் வழியாக ஏறி, புவியீர்ப்புவிசையையும் தாண்டி, வழிந்தோடும் தன்மை கொண்டவை.   இதன் பொருள் என்னவெனில், உராய்வைப் போன்றதொரு ஆற்றல்பரிமாற்றத்தில்  வீணாகும் உபரியாற்றல், நீர்மத்தில் விழுவிழுப்புத்தன்மை, இல்லையென்பது!  அதாவது, சுழற்றிவிட்ட பம்பரம் என்றும் நிற்காமல் சுற்றிக் கொண்டேயிருந்தால், எப்படியிருக்குமோ அப்படியானது இது.


நாம் பொதுவாகக் காணும், ஆற்றில் உண்டாகும் சுழல் என்பது வெவ்வேறு திசைவேகத்தில் நீரோட்டங்கள் கலக்குமிடத்தில் உண்டாவது, இதேப் போன்றதை, ஒருக்கோப்பையில் உள்ள நீரை கரண்டியால் சுழற்றும் போதும் உண்டுபண்ணலாம். ஆற்றில், வெவ்வேறு நீரோட்டங்களின் திசைவேகமாற்றம் இருக்கும்வரை சுழலிருக்கலாம், கோப்பையில் உண்டாகும் சுழலும் கரண்டியை விட்டு சுழற்றுவதை நிறுத்திய சிறிதுநேரத்தில்தணியும்.  ஆனால், மீப்பாய்மமாகக் கருதப்படும் நீர்மஹீலியத்தில் –உராய்வைப் போன்று நீர்மங்களில் செயல்படும்– விழுவிழுப்புத்தன்மை இல்லாதநிலையில், தொடர்ந்து சுழலை தன்னுள் வைத்திருக்கும்,  போன நூற்றாண்டின் மத்தியில், இயற்பியற்றுறையில் இது போன்ற விளைவுகள் மிகப்பெரிய சவாலாக இருந்தன.

சரி, சுழல் என்பது என்ன, ஒரு பெரிய பரப்பில், ஓரிடத்தில் மட்டும் ஒழுங்குமாறிய நிலை, ஆக அவற்றைக் குறிக்க வெக்டர்புலங்களைப் பயன்படுத்தலாம், ஏனெனில், சுழல் என்பது ஒருவகையான விசை, ஆனால் அவ்விசை, இடத்திற்கு தக்கன வேறுபட செய்யும் ஒன்று. ஆகவே தான், சுழலுக்குள் மாட்டியவுடன் ஆற்றுக்குள் பொருட்கள் செல்வதில்லை, சில சுற்றுகள் சுற்றிவிட்டு பின் ஆற்றுக்குள் மூழ்கடிக்கப்படுகிறது. இந்த மொத்தநிகழ்வையும் இருபரிமாணத்தாளில் வரையவேண்டும் என்றால், நாம் என்ன செய்வோம்?  மொத்தப்பரப்பில் சுழல் உள்ள இடத்தில் மட்டும் சிறு வெக்டர் சுழல்களினால் குறிப்பிடமுடியும். இப்படி வடிவியற் நுண்கணிதம் கொண்டு பார்க்கலாம்.  சரி, திரும்பவும் சுழலுக்குள் செல்வோம்.

சாதாரண ஒரு சுழலுக்குப் பதில், இரு சுழல்களை அருகருகே உண்டுபண்ணினால், அவை மிகவும் அற்புதமாக, தனியாக உள்ளச் சுழல்களை விடவும் அதிகநேரம் உள்ளதைக் காணவியலும். இதே போன்றத் தன்மையினை, மீக்கடத்தியிலும் காணமுடிந்தது.  எலக்றான்கள் என்பவை, எதிர்மிந்தன்மையுடையவை, அதனால் அருகில் வருங்கால், ஒன்றையொன்று விலக்கும் தன்மைகொண்டவை.  ஆனால், மீக்கடத்தி நிலையில் –மீக்குறைவான வெப்பநிலையில்– எலக்றான்கள் ஒன்றையொன்று கைகோர்த்து, கூப்பர் ஜோடிகளாக இணையாக மாறுகின்றன.  கூப்பர் ஜோடிகளான உடன் அப்பருப்பொருள் மீக்கடத்தியாக மாறும். மேலோட்டமாகக் கூறும்பொழுது, இவ்வாறு தாழ்வான வெப்பநிலையில் மீக்கடத்திகளாக இருக்கும் பல உலோகங்கள், அறைவெப்பநிலையில் மின்னோட்டத்தைக் கடத்தாப் பொருட்களாக -insulators- இருப்பன! ஆக, இங்கே கடத்தாப் பொருளிலிருந்து மீப்பெரும் கடத்தியாக, சம்பந்தமேயில்லாத நிலைக்கு நிலைமாற்றம் ஏற்படுகிறது.  இது போல் நிலைமாற்றம் ஏற்படும் பொழுது, பெரும்பாலும் சீரொழுங்குநிலை உடைபடும்.

ஹால் விளைவு

HallCkt.png

ஒரு கடத்தியில் அல்லது குறைகடத்தியில், மின்னோட்டத்தை செலுத்திவிட்டு, மின்னோட்டத்தின் திசைக்கு செங்குத்தாக, குறுக்காக மின்னழுத்த வேறுபாட்டை அளந்தால் என்னவாகும்? பொதுவாக மின்னழுத்த வேறுபாடு இருக்கக் கூடாது.  ஏனெனில் மின்னோட்டத்தை ஒரு உலோகக்கடத்தியில் அனுப்பும் பொழுது, எங்கேத் தொட்டாலும் ஷாக் -மின்னதிர்வு ஏற்படும். ஆனால், ஹால் விளைவின் சோதனை அமைப்பில், கடத்தியின் பரப்புக்கு செங்குத்தாக, காந்தப்புலத்தை வைக்கும்பொழுது, கடத்தியின் குறுக்காக ஒரு மின்னூட்டங்களின் (charge) ஓட்டமானது காந்தப்புலத்தால் லோரன்ஸ் விசையினால்  (\vec{F} = e \vec{E} + e \vec{v}\times \vec{B})மாற்றப்பட்டு ஒரு பக்கமாக ஒதுங்கும், இதனால், ஒரு பக்கத்தில் மட்டும் மின்னூட்டம் அதிகமாகிவிடும், இம்மின்னூட்ட வேறுபாட்டால், மின்னழுத்தவேறுபாடு உண்டாகும்.  காந்தப்புலத்தின் சக்தி, திசை இவற்றைப் பொறுத்து மின்னழுத்த மாறுபாடு அமையும்.

சரி, பொதுவாக, ஒரு பொருளின் விலையைக் குறிப்பிடும் போழ்து, ஒரு மாம்பழத்தின் விலை 2 உரூபாய் எனில், 10 பழங்களின் விலை 20 ஆகும். 20 பழங்களின் விலை 40 என நேரடியாகப் எண்களைப் பெருக்கிக் கொண்டு போகலாம். ஆனால், மொத்தவியாபாரி வாங்கும் போது இப்படி வாங்கியிருக்கமாட்டார் தானே, அதாவது ஆயிரம் பழங்களின் விலை 2,000 ஆக இருக்காது, அதாவது அதன் மடங்கில் இருக்கப்போவதில்லை. ஆக, மொத்தவியாபாரியின் கணக்குக்கும் நுகர்வோரின் கணக்கும் ஒன்றாக இருப்பதில்லை, அதற்கான காரணிகள் பல்வகைப்பட்டவை.

அதே போல், ஒரு விசயம் ஒரு பரிமாணத்தில் ஒரு மாதிரி நடந்தால், அதே விளைவு, இரு பரிமாண பருப்பொருளில் அதன் இருமடங்கிலோ, இல்லை ஒருபரிமாணத்தின் தன்மையைப் பொறுத்தமாதிரியோ அமையாமல் மொத்தமாகவே, வேறுமாதிரியாகவும் அமைய வாய்ப்புகளுண்டு.

கூப்பர் இணை, ஜோசப்சன் சந்தி போன்ற மீக்கடத்தி அமைப்புகளிலும் ஹால் சோதனைகளிலும், ஒரு தளத்தில் அல்லது தகட்டில் நடப்பவை.  ஆனால் நம் சோதனைக்குரிய பொருள் தடிமனாக ஆக,  மடங்குகளில் அல்லாமல் மாறுவது எப்படி என்பதை சில உதாரணங்கள் மூலம் காண்போம்.

குவாண்டம் ஹால்விளைவு

சரி, மென்பட்டையாக, இருபரிமாணத்தில் இருக்கும் ஒரு கடத்திக்குத் தான் பார்த்தோம், இதுவே, கடத்தி தடிமனானால்? எதிர்பார்க்கப்படும் விளைவு, நுகர்வோர் வாங்கும் மாம்பழக்கணக்காக நேரடி கணக்கீடாக இருக்காது.  ஏனெனில், காந்தப்புலம் திசை சார்ந்தது, அதனால், ஹால் விளைவில், கடத்திக்குள்ளே வெவ்வேறு திசைகளில் மின்னூட்டம் வெவ்வேறு அளவுகளில் செலுத்தப்படும்.  இதனால் கடத்தியின் கடத்துத்திறன் வெகுவாகப் பாதிப்படையும். இது மேம்போக்காகப் பார்க்கும்பட்சத்தில் இவை இவ்வாறு நிகழ்ந்தால் பிரச்சினையில்லை.  ஆனால், காந்தப்புலத்தின் தன்மைக்கேற்ப ஒருசேர மாறாமல், திடீர் திடீரென கடத்தும்திறன சில காந்தப்புல அளவுகளுக்கு ஒரு மாதிரியும், அதிலிருந்து சிறிது பிசகினாலும், மிந்தடை அதிகமாகவும் மாறுவது, வியப்பானவொன்றாக இருந்தது. குவாண்டவியலில் தான், இம்மாதிரி, ஒரு குவாண்டத்துகளின் தன்மை, குவாண்டமாக்கம் செய்யப்படுவதால், ஒரு அணுவின் அல்லது அணுத்துகளின் சக்தி தொடரளவுகளாக இல்லாமல், குறிப்பிட்ட அளவு மட்டுமே அமையும் சாத்தியம் உண்டு. ஆக, இம்மாதிரி ஹால் விளைவுகளிலும், அதன் நுட்பத்தை அறிந்து கொள்ளும்பொருட்டு, குவாண்டவியல்கொள்கைகளைக் கொண்டு இம்மாதிரியான பருபொருட்களைப்பற்றி ஆய்வுசெய்யப்படும் பொழுது, இவை குவாண்டம் ஹால் விளைவுகள் கண்டறியப்பட்டன.  அம்மாதிரியான பொருண்மங்களுக்கு ஹால் கடத்துத்திறனானது இயற்கையின் மாறிலிகளில் ஒன்றான \hbar டிராக் அல்லது மாற்றமடைந்த பிளாங்க் மாறிலியின் அளவுகளில் இருந்தது.

குவாண்டச்சுழலில் ஹால் விளைவு (Quantum spin Hall effect), இடஞ்சார் திண்மவியல் (Topological matter)

சரி, மின்னோட்டம், எலக்ரானால் ஆனது எனும் பொழுது, எலக்றானுக்கு இருக்கும் பிறபண்புகளான, சுழற்பண்பையும் இது போல பார்த்தால், என்னவாக இருக்கும் எனப் பார்த்தபொழுது, ஹால் விளைவின் தன்மை, வேறுமாதிரியான பருப்பொருளின் தன்மைக்கு அடிகோலியது, காந்தப்புலமும், எலக்றானின் சுழலும் ஊடாடி புதுவகையானத் சுவிட்சு/நிலைமாற்றிகளைப் போல செயல்படுவதைக் காண முடிந்தது.  காந்தப்புலம் இல்லாமலும் ஹால்விளைவுகளைக் காண நேர்ந்தது!  இது மிகவும் ஆச்சரியப்படவைக்கும் விசயம் ஆகும்.

இதுமாதிரி அதியுயர் ஆற்றலியலிலும் துகளியற்பியலிலும் (high energy physics) குவாண்டப் பொருண்மவியலிலும் சீரொழுங்குநிலை உடைபடும் இடங்கள் நிறையவேவுண்டு.  ஆயினும்  கடத்தியின் மேற்பரப்புகளில் உள்ள மாறுபாடுகளுக்கேற்ப, விளைவுகள் ஏற்படுவது, சீரொழுங்குநிலையைத் தக்கவைத்துக் கொள்ளும்நிலையில் கூட நிலைமாற்றங்கள் ஏற்படுவதை, 2005ஆமாண்டுவாக்கில் கோட்பாட்டளவில் கண்டறிந்தனர்.

insulator

கடத்தாநிலையில் இடஞ்சார்ப் பண்புள்ளக் கடத்தாப்பொருள் சாதாரணக் கடத்தாபொருளைப் போல் உள்ளது.

உதாரணத்திற்கு, ஒரு கடத்திக்குள் எலக்றான் செல்லும் வழியில் ஏதாவது பழுதோ அல்லது வேறு அணுக்களோ மாசுகளோ இருந்தால், எலக்றான் சிதறும், இவ்வாறு சிதறினால், இயக்கவாற்றல் வெப்ப ஆற்றலாக மாறி வீணாகும்.  ஆனால் குவாண்டம் விளைவுகளால்,  திண்மங்களில் இம்மாதிரியானச் சிதறல் ஏற்படுவதில்லை, இது முடிச்சுக்கோட்பாட்டின் படி ஏற்படும் எலக்றானின் குவாண்டநிலைகளின் மாற்றங்களாக விளக்கப்படுகிறது.   இடவியல் கோட்பாடுகளின்படி சீரொழுங்குநிலைசார்ந்த தன்மை ஆராயப்படுகிறது.

QHE.png

இடஞ்சார் பண்புள்ள கடத்தாப்பொருள்:  நடுவில் கடத்தாபொருளாகவும், ஆனால் சோதனைத்துண்டின் ஓரங்களில் கடத்தியாகவும் உள்ளது.

ஒரு கடத்தாப் பொருள், அதன் கடத்தாநிலைக்குக் காரணம், அணுக்கள் தன் கடைசிவட்டப்பாதையில் உள்ள எலக்றான்களை கடத்தும் வல்லமைக்கு அனுப்பவியலாநிலையில் இருக்கும்.  ஆனால், ஒரு இடஞ்சார் திண்மப்பண்புள்ளப் கடத்தாப் பொருள்கூட காந்தப்புலத்தில் வைக்கும்பொழுது, அணுவின் சுழல்-சுற்றுப்பண்புகளின் ஊடாட்டத்தால் (Spin-Orbit coupling), கடைசி சுற்றுப்பாதையில் இருக்கும் எலக்றான்கள், தன் பாதையைத் தவிர்த்து, அந்தப் பொருளின் ஓரங்களில் மட்டும் முன்னேறிச் செல்லும்.  இதனால் அப்பொருளுக்கு அதன் ஓரத்தில் மட்டும் கடத்துந்திறன் உண்டாகிறது.

DiracCone1.png

இதில், எலக்றானின் சுழல்தன்மையினைப் பொறுத்து, எலக்றானின் ஓட்டம் அமையும்.   சரி, இது இருபரிமாணத் தகடு, இதுவே, முப்பரிமாணமானால், என்ன ஆகும்?!  இருபரிமாணத்தில் ஓரங்களில் கடத்துந்திறன் உண்டாவது போல, முப்பரிமாணப் பருப்பொருளில், அதன் மேற்பரப்புகளில் கடத்துந்திறன் உண்டாகிறது. பொதுவாக, குறைக்கடத்திகளில் (semiconductors)  அணுக்களில் நிறைச்சுற்றுவட்டப்பாதையில் உள்ள எலக்றான்கள், Fermi Level எனும் அளவைக் கடந்து  கடத்தும் எலக்றான்களாக மாறுவதற்கு, இரண்டு நிலைகளுக்கும் நடுவே ஒரு ஆற்றல் வேறுமாடு உண்டு, அந்த ஆற்றல் வேறுபாட்டைக் கடக்க, மின்னழுத்தத்தைத் தரும்பொழுது, கீழுள்ள கடைச்சுற்றுப்பாதையில் உள்ள எலக்றான்களுக்கு ஆற்றல் கூடி, அதற்கு வேண்டிய குவாண்ட ஆற்றலைப்பெறும்பொழுது,  தாவிக் கடத்த ஆரம்பிக்கும்.   இதை, ஆற்றல்-உந்த வரைபடத்தில் குறிப்பிடும் போது,  வேலன்ஸ் பட்டையும் கண்டக்ஷன் பட்டையும் ஒன்றின்மேல் ஒன்றாக அமையுமாறுக் குறிப்பிடுவர்.  ஆனால், மேலுள்ளப் படத்தில், தனித்தனிப் பட்டைகளாக, ஆற்றல்வேறுபாட்டுடன் இருக்கும் போதும் இந்த ஓர குவாண்டநிலைகள் கடத்த ஆரம்பித்ததை, வெளிர்நிலக் கோடுக் காண்பிக்கிறது.   அதே முப்பரிமாணத்தில், கூம்பு  வடிவில் கடத்தும் எலக்றான்களின் தன்மை அமைகிறது.  இதை கிராஃபீன் போன்ற பருப்பொருட்களில் டிராக் கூம்பு (Dirac cone), அதாவது அம்மாதிரியான பருப்பொருட்களில் உள்ள எலக்றான் டிராக் சார்பியல் குவாண்ட சமன்பாட்டினையொட்டி இயங்கும்.  சரி, அதை இன்னொரு நாளில் காணலாம்!

குவாண்டம் சுழல்களின் தன்மை, எப்பொழுதும் இடவியல் கோட்பாட்டின்படி அமைவதையும் ஹால்டேன் அவர்களின் கணக்கீடுகள் காண்பித்தன. சுழல்களை குறிப்பிட்ட தூரத்தில் சங்கிலிக்கண்ணிகளை போல் வைத்தால் சிலவகையான சுழலெண்களைக் கொண்ட சங்கிலிகள் இடவியல்தன்மைகளைக் கொண்டதாக இருந்தன. இதன் பிரகாரம், எவ்வகையான வெளித்தாக்கங்கள் (காந்தப்புலம்) ஏதும் இல்லாமலேயே ஹால்விளைவுகளைக் காணவும் வாய்ப்புகள் உள்ளது என அறியப்பட்டது.

ஒருதிசையில் மின் தடையாக செயல்படும் ஒரு பருப்பொருள் இன்னொருதிசையில் கடத்தியாக இருக்க முடியும்.  இதுமாதிரியான கடத்தியின் திசை, குவாண்டச்சுழல்களின் நிலை போன்றவற்றால் உருவாகும் நிலைமாற்றங்கள், மரபு எலக்றானியலிலும் சுழல் எலக்றானியலிலும் குவாண்டக் கணினிகளிலும் மிக முக்கிய பங்குவகிக்கும்.

முடிவிலா மின் சுற்றும், கொஞ்சம் ஜனரஞ்சக திண்ம அறிவியலும்!

நண்பர் ஞானசம்பந்தன், இயற்பியல் ஆசிரியர்,  அனுப்பிய ஒருக் கேள்வியினாலும் கதிர் அண்ணாவின் தொடர் சம்பாசணைகளாலும் விளைந்தக் கட்டுரை இது!

இது மாதிரியான முடிவிலாச் சுற்றுக்களை, விளையாட்டாய் சிறுபிராயம் முதல் போட்டுத் திரிவேன், பேரா. ஶ்ரீனிவாசன் (காமராசர் பல்கலை) அவர்கள், ஒரு நாள் இதில் உள்ள விசயங்களைக் கோடிட்டுக் காண்பித்தார் [1].  அது தான் பிபனாக்சி விகிதத்தை இம்மாதிரியான சுற்றுகள் மூலம் காண்பது.

Fibonacci Ratio இயற்கையில் பூவிதழ், சில மரங்களில் இலையமைப்பு, கள்ளிச் செடியின் முள்ளமைவு என எல்லாவற்றிலும் அழகியலாக அமையும் ஒரு விகிதாச்சாரம், சில ஆய்வுகள் குழந்தைகள்/ பெரிய ஓவியர்கள் வரையும் படங்களில் எங்கு சூரியனை வரையவேண்டும் என்பதை அழகியல் நோக்கில் மனம் எடுத்து வரைவதைக் கூறுகிறார்கள். அதுப் பெரும்பாலும் பிபனாக்சி விகிதாச்சாரத்திற்கேற்ப இருப்பதை ஆச்சரியத்தோடு நோக்குகிறார்கள்.

இனி இயற்கையில் அமையும் பிபனாக்சி விகிதத்துக்கும் நாம் செய்யும் செயற்கையான முடிவிலாச்சுற்றுக்கும்,  எப்படித் தொடர்பு ஏற்படுகிறது எனக் காணலாம்.

InfyCkt-Rஇணைச்சுற்றின் மின் தடையளவு எப்பொழுதும்  பின்னவடிவில் இருப்பதால், இம்மாதிரியானத் தொடர் சுற்றின் மின் தடையளவும் பின்ன வடிவாக அமையும் தானே?!  இது பார்ப்பதற்கு சுவாரசியமான இராமானுஜனின் தொடர்பின்னம் போலவும் இருக்கும்!!

படத்திலுள்ளது போல் ஒரு அமைவுக்கு, AB தொடர்பில் உணரப்படும் மின் தடை, இவ்வாறுக் கணக்கிடப்படலாம்,

R_{AB}=R1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+R_2}}}}

இதுவே ஒரு முடிவிலாச் சுற்றில், அந்த மின் தடையின் அளவு

R_{AB}^{\,(\infty)}=R1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+\cfrac{1}{\cfrac{1}{R_2}+\cfrac{1}{R_1+\cfrac{1}{\ddots}}}}}

என மாறும்.   ஆக மின் தடை அமைவும் தொடர் பின்னமும் வந்துவிட்டது!!

இப்பொழுது,  R_1 மற்றும் R_2 ஆகியனவற்றைக் கொண்டு, R_1 R_2 =1 என அமைவது போல் எழுதும் பொழுது, R_1=1/R_2 என ஆகும்.  ஒரு எளிமையானக் கணக்கீட்டுக்காக, R_1 =1  எனக் கொண்டோமானால், மின் தடையின் அளவு

R_{AB} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}

இவ்வாறாக அமையும்.

ஒவ்வொரு பின்னமாக சுருக்கினால், பின்னங்கள் ஒரு எண்ணை நோக்கிக் குவிவதைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, முதல் ஒரு இணைப்புக்கு, R_{AB}^{\,(1)}=\frac{1}{1} எனவும் இரண்டாவதுச் சுற்றுக்கு  R_{AB}^{\,(2)}=\frac{2}{1}, எனவும், அப்படியே அடுத்தடுத்த சுற்றுக்களைச் சேர்க்கும் பொழுது  R_{AB}^{\,(3)}=\frac{3}{2}, R_{AB}^{\,(4)}=\frac{5}{3},  என்பவையும் ஏனையவையும் வரும்.  (n+1)-வது சுற்றை இணைக்கும் பொழுது, R_{AB}^{\,(n+1)}=\frac{\phi_{n+1}}{\phi_n} என அமையும்.

இது n \rightarrow \infty என முடிவிலாச் சுற்றாக அமையும் பொழுது, மின் தடையானது, தெய்வீக விகிதமான பிபனாக்சி விகிதத்தை R_{AB}^{(\infty)}=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\approx 1.618 அடைவதைக் கணக்கிடலாம்!!

வெவ்வேறு நிலைகளில் இது பற்றிய ஆய்வினை, திண்மவியலின் முக்கியமான விளைவான, ஆண்டர்சன் குறுக்கத்தையும் (Anderson Localization) தனியாகக் கணக்கிட்டு வருகிறேன். பனுவல்களில் பகிரும் அளவுக்கு இன்னும் வளரவில்லை. கூடிய சீக்கிரம் வெளிவரும்! பேரா. ந. குமாரின் (இராமன் ஆய்வுக்கழகம்)கட்டுரையில் இதே போன்ற சுற்றை, மின் தூண்டல் நிலைமம் கொண்டும் மின் தேக்கிக் கொண்டும் கணக்கிட்டுள்ளதைக் காணலாம் [2].  இக்கட்டுரை, அடிப்படை இயற்பியலின் கேள்விகளில் ஒன்றான, ஒருங்கமைவு குலைதலையும்  (Broken Symmetry உராய்வு, தேய்மானம், இழுப்புவிசையின் அடிப்படையையும்  சார்ந்தது.   நேர ஒருங்கில் பின்னோக்கி செல்லவியலாத் (Broken time-reversal symmetry) தன்மையினை முடிவிலா மின்சுற்றுகள் கொண்டு விளக்கிக் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளது.   நாம் போன வகையில் எப்படிச் செய்தோமோ அதே போல், இதற்கும் மின் ஏற்பு/முறிக்கும் திறனைக் கணக்கிடலாம்.

InfyCkt-LCR

Z_{AB}^{\,(\infty)}=Z_L+\cfrac{1}{\cfrac{1}{Z_C}+\cfrac{1}{Z_L+\cfrac{1}{\cfrac{1}{Z_C}+\cfrac{1}{Z_L+\cfrac{1}{\ddots}}}}}

இதேச் சுற்றை இவ்வாறு, பூவிதழ் அமைவு போல் மாற்றி அமைக்கும் பொழுது,

InfyCkt-LCR-3தொடர் சுற்றில் ஒரே விதமானவை மாறி மாறி வருவதால் சுருக்கமாக, (n+1)-ஆவது சுற்றில் ஏற்படும் மாற்றத்தை, n-ஆவதுச் சுற்றில் உள்ள மின்னோட்ட ஏற்பில் ஏற்படும் மாறுபாட்டை வைத்தேக் கணக்கிடலாம்.

Z_{n+1}\equiv f(Z_n)=\dfrac{Z_n}{1+i \omega C Z_n}+i\dfrac{ \omega L Z_n}{i \omega L +Z_n}

இதில் \omega அதிர்வெண் ஆகிறது, L, C, ஆகியன முறையே தந்தூண்டல் திறன், மின் தேக்கத்திறனைக் குறிப்பது.  மேலுள்ள சமன்பாட்டில் இருந்து, அதிர்வெண் சுழியம் ஆகும் பொழுது, Z_{n+1} = Z_n என்ற மிகச் சாதாரணப் பண்பு வெளிப்படும், அதே நேரம்,  n\rightarrow \infty என்பது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த விளைவினைத் தரும், அதாவது, அலைவுப்பண்புகளினால் வேலை செய்யும் நிலைம, தேக்கப் பண்புகள் ஒடுங்கி, அலைவுறா மின்னோட்ட மின் தடையளவில் குவியும், இது நமது மின்னழுத்த மூலத்தில் அலைவுப்பண்பு இருந்தாலும் வரக்கூடியது!

ஆக, இருப்பது போல் இல்லாதிருப்பதும், இல்லாதிருப்பது போல் இருப்பதுமாய் அமைவது, இத்தொடர்களின் சிறப்பு! அதனால், தத்துவார்த்த கணிதம் மற்றும் இயற்பியலின் முக்கியமானதாகிறது!

அது சரி, வேண்டிய மின் தடையை வேண்டிய அளவு செய்து கொள்ள குறைக்கடத்திகளும் இது போன்ற சுற்றுக்களும் ஏற்கனவே உள்ளன,  அப்புறம் எதற்கு இந்த ஆய்வும் தத்துவமும்?  இது மின் தடையை மாற்றுவதும் பெறுவதையும் பற்றியதல்ல, எங்களுடையக் கேள்வி ஏன் தடுப்பான் வேலை செய்கிறது என்பது. ஒரு எலக்றான் ஓடும் பொழுது எத்திசையில் பயணிக்க வேண்டும் என்பதை எது தீர்மானிக்கிறது.

அது ஒரு ஒழுங்கற்றப் போக்கா (Random walk) எனக் கண்டதன் விளைவு தான் ஆண்டர்சன் குறுக்கம் [3]. அது ஒரு, இரு பரிமாணத்திலிருந்து அதிகமான பரிமாணத்திற்குப்  போகும் பொழுது, பருப்பொருளின் மின் தடையானதுப்  பரிமாணத்திற்கேற்ப விசேச வடிவில் மாறுகிறது, அதாவது ஒரே வேதிமூலக்கூறுகளைக் கொண்டத் திண்மத்தில்,   மெல்லியத் தகடு போன்றத் தடுப்பானிற்கும் பருமனானத் தடுப்பானிற்கும் (Bulk resistance) வேறுபாடு உள்ளது என்பதானது. அதன் வடிவியல் குவாண்ட பண்புகள் பொறுத்து மாறுபடுவதையும் கண்டறிந்து வருகின்றனர்.

ஆக, இந்த அமைவில், தடுப்பானின் அளவு எப்படி மாறுகிறது எனக் காணும் பொழுது, வியப்பாக இருந்தது, அதற்காக, ஆண்டர்சன் அவர்கட்கு நோபல் பரிசு வழங்கப்பட்டது. (ஆண்டர்சன் அவர்களின் மாணவர், பேரா. பாஸ்கரன் (கணித அறிவியற்கழகம்) அவ்ர்களின் சீடன், இந்த அடிப்பொடி..)  தற்பொழுது, பற்பல திண்மவியல் கண்டுபிடிப்புகள் தினந்தோறும் நடைபெறுகிறது, அவற்றில் எப்படி எலக்றானின் ஓட்டம் ஓரிடத்தில் குறுக்கப்படுகிறதா, அல்லது தடையில்லா ஓட்டமாக இருக்கிறதா (localization and delocalization) எனக் காண்பதும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஆய்வாக உள்ளது,  அதே மாதிரி தற்பொழுது ஹால் விளைவுகளை (Classical Hall effect), பருமன் அதிகமான மற்றும் மெல்லியப் புதிய திண்மப் பொருட்களில் காணும் பொழுது, கொத்தாக எலக்றான்கள் (macrocopic/ensemble current) பாயும் எலக்றானியலின் (classical electronics) விதிகளுட்படாத விசயங்களை, இயற்கையாகப் பண்பாகக் காண முடிகிறது. இவை பற்றிப் பிறிதொரு சமயம் காண்போம்!

பேரா. பாஸ்கரன், எலக்றானின் சுழற்சியை (spin) வைத்து சில spinonics ஆய்வுகளைச் செய்து வருகிறார், spinonics-ல் இன்னும் வியக்கத்தக்க வகையில் பல விசயங்களைக் காண முடிகிறது, அவை தற்பொழுதுள்ள் எலக்றானியலின் அடிப்படைத் தடுமாற்றங்களான, வேகம், அதிக அதிர்வெண்ணில் உள்ள பிரச்சினைகள்  கடந்து அமைவது மிகச்சிறப்பான விசயம்.  இத்துறையிலும் நவீன திண்மவியலிலும், அதன் உட்துறையான அதி வெப்ப மீக்கடத்திகளிலும் (High Temperature Superconductors) பாஸ்கரன் அவர்களின் ஆய்வுகள் மிக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தனவாகக் காணப்படுகிறது.

இதே மாதிரி,  DNA-வில் அடிப்படைக் கூறுகள் (A, T, G, C) அமைவிலும் இந்த பிபனாக்சி விகிதாச்சாரம் உள்ளது வியப்பானது, அதுவே, பயன்பாட்டு அளவிலான முடிவிலாத் தொடர் சுற்றிலும் அமைவது, வியப்பாக அமைகிறது.   இதன் மூலம் தொடர் சுற்றுகள் இயற்கையினை எவ்வளவு பிரதிபலிக்க முடியும் என்பதைக் காண விழைகிறோம்! இயற்கையின் அடிநாதத்தை அறிந்து கொள்ள இவை போன்றவை உதவும்.

உசாவித் துணைகள்:

  1. T. P. Srinivasan,  Fibonacci sequence, golden ratio, and a network of resistors, Am. J. Phys. 60, 461 (1992).
  2. N. Kumar,  Resistance without resistors: An anomaly, arXiv:0706.4384 (2007).
  3. P W Anderson, Absence of diffusion in certain random lattices, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).